Determine o raio de convergência e a região de convergência de , onde:
Passo 1
Aqui a gente tem a série de potências com . O que a questão pede é o raio de convergência dessa série e em quais valores de ela converge (região de convergência).
Passo 2
O método mais direto é usar o teste da razão para séries de potências. A teoria diz que o raio de convergência é dado por
Passo 3
No nosso caso temos
anan+1 = tfrac1n!tfrac1(n+1)! = n+1
Como limntoinfty(n+1)=infty, isso significa que o raio de convergência é infinito. Portanto a série converge para todo z.
Resposta
O raio de convergência é R=infty e a região de convergência é todo o plano complexo, ou seja, a série converge para todo zinC.