Determine o raio de convergência e a região de convergência de tildea(z), onde:
an=1n!

Passo 1

Aqui a gente tem a série de potências tilde a(z)=sumn=0^infty anz^n com an=1n!. O que a questão pede é o raio de convergência dessa série e em quais valores de z ela converge (região de convergência).

Passo 2

O método mais direto é usar o teste da razão para séries de potências. A teoria diz que o raio de convergência R é dado por
R = limntoinfty|anan+1|,

Passo 3

No nosso caso temos
anan+1 = tfrac1n!tfrac1(n+1)! = n+1
Como limntoinfty(n+1)=infty, isso significa que o raio de convergência é infinito. Portanto a série converge para todo z.

Resposta

O raio de convergência é R=infty e a região de convergência é todo o plano complexo, ou seja, a série converge para todo zinC.

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