Determine o raio de convergência e a região de convergência de tildea(z), onde:
an=sin (omega n), omega in C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o raio de convergência e a região de convergência da série de potências tildea(z), onde os coeficientes são dados por an=sin (omega n), com omega sendo um número complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências, especialmente como identificar o raio e a região onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, precisamos relembrar que o raio de convergência de uma série de potências sum an z^n pode ser encontrado usando o Teste da raiz ou o Teste da razão. Esses testes nos ajudam a determinar para quais valores de z a série vai convergir.

Passo 3

Vamos utilizar o Teste da raiz, que diz que o raio de convergência R pode ser calculado pela fórmula:
1R = limsupn to infty |an|^1/n
Aqui, limsup representa o limite superior quando n tende ao infinito.

Passo 4

Aplicando essa fórmula aos nossos coeficientes an = sin(omega n), temos:
1R = limsupn to infty |sin(omega n)|^1/n
Sabemos que |sin(omega n)| <= 1 para todo n. Portanto,
|sin(omega n)|^1/n <= 1^1/n = 1

Passo 5

Agora, analisando o limite superior:
limsupn to infty |sin(omega n)|^1/n <= limn to infty 1^1/n = 1
Portanto,
1R <= 1 implies R >= 1

Passo 6

Para determinar se R = 1, precisamos verificar se a série converge quando |z| = 1. Porém, geralmente para séries com |an| <= 1, o raio de convergência é exatamente 1. Isso porque, além desse ponto, a série tende a divergir.

Passo 7

Portanto, concluímos que o raio de convergência R é igual a 1. A região de convergência é o conjunto de todos os números complexos z tais que |z| < 1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e a região de convergência é o conjunto de todos os números complexos z tais que |z| < 1.

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