Determine o raio de convergência e a região de convergência de
, onde:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o raio de convergência e a região de convergência da série de potências
, onde os coeficientes são dados por
, com
sendo um número complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências, especialmente como identificar o raio e a região onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, precisamos relembrar que o raio de convergência de uma série de potências
pode ser encontrado usando o Teste da raiz ou o Teste da razão. Esses testes nos ajudam a determinar para quais valores de
a série vai convergir.
Passo 3
Vamos utilizar o Teste da raiz, que diz que o raio de convergência
pode ser calculado pela fórmula:
Aqui,
representa o limite superior quando
tende ao infinito.
Passo 4
Aplicando essa fórmula aos nossos coeficientes
, temos:
Sabemos que
para todo
. Portanto,
Passo 5
Agora, analisando o limite superior:
Portanto,
Passo 6
Para determinar se
, precisamos verificar se a série converge quando
. Porém, geralmente para séries com
, o raio de convergência é exatamente
. Isso porque, além desse ponto, a série tende a divergir.
Passo 7
Portanto, concluímos que o raio de convergência
é igual a
. A região de convergência é o conjunto de todos os números complexos
tais que
.
Resposta
O raio de convergência é
e a região de convergência é o conjunto de todos os números complexos
tais que
.