Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
(d) \sum_{k=0}^{\infty} k e^{-k} z^{k}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência \rho da série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} k e^{-k} z^{k}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes da série são a_k = k e^{-k} para k\ge0.
  • A pergunta é: qual é o valor de \rho tal que a série converge para |z|<\rho e diverge para |z|>\rho.

Passo 2

Escolhi usar o critério de Cauchy–Hadamard (teste da raiz) para achar o raio de convergência. Explico o que é e por que funciona:
  • Definição prática: para uma série de potências \sum a_k z^k, o raio de convergência \rho pode ser obtido por
\rho = \frac{1}{\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}}.
  • O que significa cada coisa: a_k são os coeficientes; |a_k|^{1/k} mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) dos coeficientes; o \limsup captura o comportamento limite mesmo quando a sequência não tem limite simples.
  • Quando o \limsup existe e é um número finito L, a série converge para |z|<1/L e diverge para |z|>1/L. Por isso \rho=1/L.

Passo 3

Agora calculamos \limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} no nosso caso. Como a_k = k e^{-k},
|a_k|^{1/k} = (k e^{-k})^{1/k} = k^{1/k} e^{-1}.
Precisamos do limite de k^{1/k} quando k\to\infty. Uma forma direta de ver isso é tomar logaritmo:
\ln\bigl(k^{1/k}\bigr) = \frac{\ln k}{k}.
Como \lim_{k\to\infty} \dfrac{\ln k}{k} = 0 (o log cresce muito mais devagar que k), segue que
\lim_{k\to\infty} \ln\bigl(k^{1/k}\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{k\to\infty} k^{1/k} = e^{0}=1.
Portanto
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = 1\cdot e^{-1} = e^{-1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Cauchy–Hadamard:
\rho = \frac{1}{\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}} = \frac{1}{e^{-1}} = e.
Comentário rápido de verificação (opcional): usando o critério da razão nota-se também que
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{k+1}{k}\,e^{-1}\xrightarrow[k\to\infty]{} e^{-1},
o que também leva a \rho=1/(e^{-1})=e. Ambos os métodos dão o mesmo resultado.

Resposta

\rho = e

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