O que significa cada coisa: a_k são os coeficientes; |a_k|^{1/k} mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) dos coeficientes; o \limsup captura o comportamento limite mesmo quando a sequência não tem limite simples.
Quando o \limsup existe e é um número finito L, a série converge para |z|<1/L e diverge para |z|>1/L. Por isso \rho=1/L.
Passo 3
Agora calculamos \limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} no nosso caso. Como a_k = k e^{-k},
|a_k|^{1/k} = (k e^{-k})^{1/k} = k^{1/k} e^{-1}.
Precisamos do limite de k^{1/k} quando k\to\infty. Uma forma direta de ver isso é tomar logaritmo:
\ln\bigl(k^{1/k}\bigr) = \frac{\ln k}{k}.
Como \lim_{k\to\infty} \dfrac{\ln k}{k} = 0 (o log cresce muito mais devagar que k), segue que