Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
(c) \sum_{k=0}^{\infty} p(k) z^{k}, onde p(k) é um polinômio;

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{k=0}^{\infty} p(k)\,z^{k},
onde p(k) é um polinômio em k. A pergunta é: determinar o raio de convergência \rho dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada k\in\mathbb{N} o coeficiente geral da série é a_k=p(k).
  • p é um polinômio; se o grau de p for d e o coeficiente líder for c\neq0, então p(k) cresce como c\,k^{d} quando k\to\infty.
  • Há a possibilidade especial de p ser o polinômio nulo (isto é, p(k)\equiv0 para todo k).

Passo 2

Vou usar uma fórmula padrão para raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz o seguinte.
Seja uma série de potências \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k. O raio de convergência \rho satisfaz
\frac{1}{\rho}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
Aqui a_k é o k-ésimo coeficiente e \limsup é o limite superior. A ideia prática: calcular \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|} e inverter para obter \rho. Vou aplicar isso com a_k=p(k).

Passo 3

Analisar o comportamento assintótico de p(k). Seja d\ge 0 o grau de p. Então existe c\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que, quando k\to\infty,
p(k) = c\,k^{d} + \text{ termos de ordem inferior}.
Isso significa que existem constantes positivas A,B e um K tal que, para todo k\ge K,
A\,k^{d} \le |p(k)| \le B\,k^{d}.
(Se p for o polinômio nulo, trataremos isso como caso à parte.)

Passo 4

Calcular \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|p(k)|} usando a desigualdade do passo anterior.
A partir de
A\,k^{d} \le |p(k)| \le B\,k^{d},
tomando raiz k-ésima:
A^{1/k}\,k^{d/k} \le \sqrt[k]{|p(k)|} \le B^{1/k}\,k^{d/k}.
Agora usar limites conhecidos:
  • \displaystyle\lim_{k\to\infty}A^{1/k}=1 e \displaystyle\lim_{k\to\infty}B^{1/k}=1, porque qualquer constante positiva elevada a 1/k tende a 1.
  • \displaystyle\lim_{k\to\infty}k^{d/k}=\exp\!\big(\lim_{k\to\infty}\tfrac{d\ln k}{k}\big)=\exp(0)=1. Uma forma simples de ver isso é observar que \ln(k^{d/k})=(d\ln k)/k\to0.
Pela desigualdade em sanduíche (teorema do sanduíche), segue que
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|p(k)|}=1.
Portanto
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|p(k)|}=1,
desde que p não seja o polinômio nulo.

Passo 5

Aplicar Cauchy–Hadamard: para a_k=p(k) não identicamente zero,
\frac{1}{\rho}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|p(k)|}=1,
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\rho=1.

Passo 6

Tratar a exceção: se p for o polinômio nulo, então todos os coeficientes a_k=p(k) são zero e a série é a série nula, que converge para todo z\in\mathbb{C}. Nesse caso o raio de convergência é
\rho=+\infty.

Resposta

Se p não for o polinômio nulo então \rho=1.
Se p\equiv0 então \rho=+\infty.

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