Determine o raio de convergência (
) de cada uma das seguintes séries:
(c)
, onde
é um polinômio;
(c)
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
onde
é um polinômio em
. A pergunta é: determinar o raio de convergência
dessa série.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para cada
o coeficiente geral da série é . -
é um polinômio; se o grau de for e o coeficiente líder for , então cresce como quando . - Há a possibilidade especial de
ser o polinômio nulo (isto é, para todo ).
Passo 2
Vou usar uma fórmula padrão para raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard. Ela diz o seguinte.
Seja uma série de potências
. O raio de convergência
satisfaz
Aqui
é o
-ésimo coeficiente e
é o limite superior. A ideia prática: calcular
e inverter para obter
. Vou aplicar isso com
.
Passo 3
Analisar o comportamento assintótico de
. Seja
o grau de
. Então existe
tal que, quando
,
Isso significa que existem constantes positivas
e um
tal que, para todo
,
(Se
for o polinômio nulo, trataremos isso como caso à parte.)
Passo 4
Calcular
usando a desigualdade do passo anterior.
A partir de
tomando raiz
-ésima:
Agora usar limites conhecidos:
-
e , porque qualquer constante positiva elevada a tende a . -
. Uma forma simples de ver isso é observar que .
Pela desigualdade em sanduíche (teorema do sanduíche), segue que
Portanto
desde que
não seja o polinômio nulo.
Passo 5
Aplicar Cauchy–Hadamard: para
não identicamente zero,
logo
Passo 6
Tratar a exceção: se
for o polinômio nulo, então todos os coeficientes
são zero e a série é a série nula, que converge para todo
. Nesse caso o raio de convergência é
Resposta
Se
não for o polinômio nulo então
.
Se então
.
Se