Determine o raio de convergência ( \rho ) de cada uma das seguintes séries:
(b) \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k}{\ln k}(z+1)^{k};

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência \rho da série de potências
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k}{\ln k}\,(z+1)^{k}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A série é uma série de potências centrada em z_{0}=-1.
  • Os coeficientes da série são, para k\ge 2,
a_{k}=\frac{k}{\ln k}.
  • A incógnita que queremos é o raio de convergência \rho, isto é, o número tal que a série converge para |z+1|<\rho e diverge (ou pelo menos não converge uniformemente) fora desse disco.

Passo 2

Regra que vamos usar (Cauchy–Hadamard): para uma série de potências \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(z-z_{0})^{k} o raio de convergência \rho é dado por
\rho=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{k\to\infty} |a_{k}|^{1/k}}.
O que isso significa: calculamos a grandeza \limsup_{k\to\infty} |a_{k}|^{1/k} (a raiz k-ésima assimptótica dos coeficientes). Se esse limsup é L, então a série converge para |z-z_{0}|<1/L e diverge para |z-z_{0}|>1/L. Aqui a_k são os coeficientes já identificados no Passo 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes a_{k}=\dfrac{k}{\ln k} (positivos para k\ge2), precisamos calcular
\limsup_{k\to\infty}\left(\frac{k}{\ln k}\right)^{1/k}.
Como todos os termos são positivos, o \limsup coincide com o limite ordinário se este existir. Vamos calcular o limite
\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k}{\ln k}\right)^{1/k}.

Passo 4

Para calcular esse limite é conveniente tomar logaritmo natural e usar que \exp e \ln são contínuos. Defina
L_{k}=\ln\!\left(\left(\frac{k}{\ln k}\right)^{1/k}\right)=\frac{1}{k}\big(\ln k-\ln\ln k\big).
Agora avaliamos o limite de L_{k} quando k\to\infty. Note que \ln k tende a infinito quando k\to\infty, mas cresce muito mais devagar que k; em particular
\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k}{k}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty}\frac{\ln\ln k}{k}=0.
Logo
\lim_{k\to\infty}L_{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{\ln k-\ln\ln k}{k}=0.
Voltando pelo exponencial,
\lim_{k\to\infty}\left(\frac{k}{\ln k}\right)^{1/k}=\exp\big(\lim_{k\to\infty}L_{k}\big)=\exp(0)=1.
Comentário pedagógico rápido: isso mostra uma ideia útil — qualquer crescimento polinomial (como k^{p}) ou logarítmico (como \ln k) dá raiz k-ésima tendendo a 1. Já se os coeficientes tivessem fator exponencial c^{k}, a raiz k-ésima tenderia a |c|.

Passo 5

Como encontramos
\limsup_{k\to\infty}\left(\frac{k}{\ln k}\right)^{1/k}=1,
pela fórmula de Cauchy–Hadamard o raio de convergência é
\rho=\frac{1}{1}=1.
Interpretação final: a série converge pelo menos para |z+1|<1 e a fronteira |z+1|=1 precisa ser estudada separadamente (não pedido aqui) para saber pontos de convergência na borda.

Resposta

\rho=1

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