Determine o raio de convergência (
) de cada uma das seguintes séries:
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência
da série de potências
Informações dadas e observações imediatas:
- A série é uma série de potências centrada em
. - Os coeficientes da série são, para
,
- A incógnita que queremos é o raio de convergência
, isto é, o número tal que a série converge para e diverge (ou pelo menos não converge uniformemente) fora desse disco.
Passo 2
Regra que vamos usar (Cauchy–Hadamard): para uma série de potências
o raio de convergência
é dado por
O que isso significa: calculamos a grandeza
(a raiz
-ésima assimptótica dos coeficientes). Se esse limsup é
, então a série converge para
e diverge para
. Aqui
são os coeficientes já identificados no Passo 1.
Passo 3
Aplicando a fórmula aos nossos coeficientes
(positivos para
), precisamos calcular
Como todos os termos são positivos, o
coincide com o limite ordinário se este existir. Vamos calcular o limite
Passo 4
Para calcular esse limite é conveniente tomar logaritmo natural e usar que
e
são contínuos. Defina
Agora avaliamos o limite de
quando
. Note que
tende a infinito quando
, mas cresce muito mais devagar que
; em particular
Logo
Voltando pelo exponencial,
Comentário pedagógico rápido: isso mostra uma ideia útil — qualquer crescimento polinomial (como
) ou logarítmico (como
) dá raiz
-ésima tendendo a
. Já se os coeficientes tivessem fator exponencial
, a raiz
-ésima tenderia a
.
Passo 5
Como encontramos
pela fórmula de Cauchy–Hadamard o raio de convergência é
Interpretação final: a série converge pelo menos para
e a fronteira
precisa ser estudada separadamente (não pedido aqui) para saber pontos de convergência na borda.