Determine o raio de convergência da série de potências dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{t} x^{n}}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{t}x^{n}}{n^{n}}
e pede o raio de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os coeficientes da série (em frente a x^{n}) são a_{n}=\dfrac{n^{t}}{n^{n}}=\;n^{\,t-n}.
  • A variável de interesse para o raio é x.
  • O parâmetro t aparece nos coeficientes, mas não foi especificado; portanto trataremos t como um número real arbitrário e veremos que o resultado é independente de t.

Passo 2

Lembrando a forma prática de achar o raio de convergência de uma série de potências: para uma série \sum a_{n}x^{n} vale a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}.
Explicando isso de forma simples: se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}, então a série converge para |x|<1/\rho e diverge para |x|>1/\rho. Se \rho=0 então R=\infty. Vou usar essa fórmula porque aqui os coeficientes envolvem potências de n e a raiz n-ésima simplifica muito as contas.

Passo 3

Calcular a n-ésima raiz dos coeficientes a_{n}. Temos
a_{n}=\frac{n^{t}}{n^{n}},
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\sqrt[n]{|a_{n}|}=\sqrt[n]{\frac{n^{t}}{n^{n}}}=\frac{n^{t/n}}{n}.
Mostrando passo a passo: \sqrt[n]{n^{t}}=n^{t/n} e \sqrt[n]{n^{n}}=n, portanto o quociente é \dfrac{n^{t/n}}{n}.

Passo 4

Avaliar o limite (ou \limsup) da expressão encontrada quando n\to\infty. Observe a parte n^{t/n}. Usando a exponencial, escrevemos
n^{t/n}=e^{\frac{t}{n}\ln n}.
Como \ln n / n \to 0 quando n\to\infty, segue que \dfrac{t}{n}\ln n \to 0 e então
\lim_{n\to\infty} n^{t/n}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{t/n}}{n}=\frac{1}{\infty}=0.
Mais formalmente: como n^{t/n}\to1, a razão comporta-se como 1/n para n grande, logo tende a 0. Assim \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=0.

Passo 5

Aplicar a fórmula do raio com \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=0. Então
R=\frac{1}{\rho}=\frac{1}{0}=\infty.
Interpretação: a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R} (ou x\in\mathbb{C}), ou seja, o raio de convergência é infinito.

Passo 6

(Verificação alternativa, opcional para a prova.) Pelo teste da razão entre termos com b_{n}=a_{n}x^{n} tem-se
\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| =|x|\cdot\frac{(n+1)^{t}}{n^{t}}\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} =|x|\,(1+\tfrac{1}{n})^{t}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\frac{1}{n+1}.
Sabendo que (1+\tfrac{1}{n})^{t}\to1 e \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\to e^{-1}, a razão acima comporta-se como \dfrac{|x|\,e^{-1}}{n+1}\to 0. Assim a razão tende a 0 para todo x, confirmando convergência absoluta para qualquer x e, portanto, R=\infty.

Passo 7

Conclusão prática e dica de prova: por causa do fator extremamente forte n^{-n} nos coeficientes (decrescimento super-exponencial), qualquer potência polinomial n^{t} não altera o fato de que os coeficientes vão a zero rápido demais. Na prova, usar o teste da raiz como fiz aqui é a maneira mais direta: calcular \sqrt[n]{|a_{n}|} e mostrar que tende a 0.

Resposta

R=\infty

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