Determine o raio de convergência da série de potências dada. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{t} x^{n}}{n^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{t}x^{n}}{n^{n}}
e pede o raio de convergência. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os coeficientes da série (em frente a x^{n}) são a_{n}=\dfrac{n^{t}}{n^{n}}=\;n^{\,t-n}.
A variável de interesse para o raio é x.
O parâmetro t aparece nos coeficientes, mas não foi especificado; portanto trataremos t como um número real arbitrário e veremos que o resultado é independente de t.
Passo 2
Lembrando a forma prática de achar o raio de convergência de uma série de potências: para uma série \sum a_{n}x^{n} vale a fórmula
Explicando isso de forma simples: se \rho=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}, então a série converge para |x|<1/\rho e diverge para |x|>1/\rho. Se \rho=0 então R=\infty. Vou usar essa fórmula porque aqui os coeficientes envolvem potências de n e a raiz n-ésima simplifica muito as contas.
Passo 3
Calcular a n-ésima raiz dos coeficientes a_{n}. Temos
Sabendo que (1+\tfrac{1}{n})^{t}\to1 e \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}\to e^{-1}, a razão acima comporta-se como \dfrac{|x|\,e^{-1}}{n+1}\to 0. Assim a razão tende a 0 para todo x, confirmando convergência absoluta para qualquer x e, portanto, R=\infty.
Passo 7
Conclusão prática e dica de prova: por causa do fator extremamente forte n^{-n} nos coeficientes (decrescimento super-exponencial), qualquer potência polinomial n^{t} não altera o fato de que os coeficientes vão a zero rápido demais. Na prova, usar o teste da raiz como fiz aqui é a maneira mais direta: calcular \sqrt[n]{|a_{n}|} e mostrar que tende a 0.