Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o raio de convergência da série de potências
Informações dadas:
- Os termos da série são do tipo
com
- A pergunta específica é: qual é o raio de convergência
dessa série de potências?
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta): para achar o raio de convergência de uma série de potências é muito comum usar a fórmula que envolve o limite superior das raízes dos coeficientes:
Essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série
. Vou usar esse método porque aqui os coeficientes têm potências e fatoriais — o teste da raiz facilita trabalhar com potências
-ésimas e permite usar a aproximação assintótica de Stirling para fatoriais.
Passo 3
Escrevendo a expressão que precisamos avaliar. Temos
logo
Portanto precisamos estudar o comportamento assintótico de
quando
.
Passo 4
Apresentando a ferramenta: a fórmula de Stirling (uma aproximação muito útil para factorials) diz que, para
grande,
ou seja, o quociente entre os dois lados tende a
quando
. Aqui vamos aplicar Stirling com
. Assim
Agora tomo a potência
em ambos os lados (isto é, elevo à
):
Passo 5
Simplificando a expressão obtida. Note que
Também o fator
tende a
quando
, porque é uma base que cresce como uma raiz quadrada de
elevada a
, e
para qualquer constante
. Portanto, de modo assintótico,
Passo 6
Voltando a
. Usando a aproximação do passo anterior,
Assim
Logo o
também vale
.
Passo 7
Concluindo o raio de convergência com a fórmula do passo 2:
Interpretação prática: o raio de convergência infinito significa que a série converge para todo
(na verdade para todo
).