Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{(3 n)!}(x-2)^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2n}}{(3n)!}(x-2)^{n}.
Informações dadas:
  • Os termos da série são do tipo a_n (x-2)^n com
a_n = \frac{n^{2n}}{(3n)!}.
  • A pergunta específica é: qual é o raio de convergência R dessa série de potências?

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta): para achar o raio de convergência de uma série de potências é muito comum usar a fórmula que envolve o limite superior das raízes dos coeficientes:
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Essa fórmula vem do teste da raiz aplicado à série \sum a_n (x-2)^n. Vou usar esse método porque aqui os coeficientes têm potências e fatoriais — o teste da raiz facilita trabalhar com potências n-ésimas e permite usar a aproximação assintótica de Stirling para fatoriais.

Passo 3

Escrevendo a expressão que precisamos avaliar. Temos
a_n = \frac{n^{2n}}{(3n)!},
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|a_n|^{1/n} = \left(\frac{n^{2n}}{(3n)!}\right)^{1/n} = \frac{(n^{2n})^{1/n}}{((3n)!)^{1/n}} = \frac{n^2}{((3n)!)^{1/n}}.
Portanto precisamos estudar o comportamento assintótico de ((3n)!)^{1/n} quando n\to\infty.

Passo 4

Apresentando a ferramenta: a fórmula de Stirling (uma aproximação muito útil para factorials) diz que, para k grande,
k! \sim \sqrt{2\pi k}\,\left(\frac{k}{e}\right)^k,
ou seja, o quociente entre os dois lados tende a 1 quando k\to\infty. Aqui vamos aplicar Stirling com k=3n. Assim
(3n)! \sim \sqrt{2\pi(3n)}\left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}.
Agora tomo a potência 1/n em ambos os lados (isto é, elevo à 1/n):
((3n)!)^{1/n} \sim \bigl(\sqrt{2\pi(3n)}\bigr)^{1/n}\left(\frac{3n}{e}\right)^{3}.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida. Note que
\left(\frac{3n}{e}\right)^{3} = 27\,n^{3}\,e^{-3}.
Também o fator \bigl(\sqrt{2\pi(3n)}\bigr)^{1/n} tende a 1 quando n\to\infty, porque é uma base que cresce como uma raiz quadrada de n elevada a 1/n, e \lim_{n\to\infty} n^{c/n}=1 para qualquer constante c. Portanto, de modo assintótico,
((3n)!)^{1/n} \sim 27\,n^{3}\,e^{-3}\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 6

Voltando a |a_n|^{1/n}. Usando a aproximação do passo anterior,
|a_n|^{1/n} = \frac{n^2}{((3n)!)^{1/n}} \sim \frac{n^2}{27\,n^{3}\,e^{-3}} = \frac{e^{3}}{27}\cdot\frac{1}{n}.
Assim
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} = 0.
Logo o \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} também vale 0.

Passo 7

Concluindo o raio de convergência com a fórmula do passo 2:
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}} = \frac{1}{0} = \infty.
Interpretação prática: o raio de convergência infinito significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R} (na verdade para todo x\in\mathbb{C}).

Resposta

R=\infty

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