Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\left\{\begin{array}{l}1 \text { se } n \text { é par; } \\\ \frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} \text { se } n \text { é ímpar }\end{array}\right.ééí

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n)\) definida por partes: \[a_{n}=\begin{cases} 1 &\text{se \(n é par},\[4pt] \dfrac{n{2}-1}{n{2}+1} &se n é ímpar. \end{cases}]
A pergunta é: discutir a convergência de (a_n) — isto é, determinar se existe \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n e, em caso afirmativo, calcular esse limite.]

Passo 2

Lembrete necessário (definição e ideia que vamos usar). Uma sequência (a_n) converge para L quando, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon. Uma estratégia prática para sequências definidas por partes (par/ímpar) é estudar as subsequências formadas pelos índices pares e ímpares separadamente; se ambas convergirem para o mesmo limite L, então a sequência inteira converge para L.

Passo 3

Examine a subsequência dos índices pares. Se n é par, então a_n=1. Logo a subsequência formada pelos termos pares é constante igual a 1, portanto converge para 1:
\lim_{\substack{n\to\infty\\\ n\\ \text{par}}} a_n = 1.

Passo 4

Examine a subsequência dos índices ímpares. Para n ímpar temos
a_n=\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}.
Faça uma simplificação útil:
\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} = 1 - \frac{2}{n^{2}+1}.
Isso mostra que, para n ímpar,
|a_n - 1| = \left|1 - \frac{2}{n^{2}+1} - 1\right| = \frac{2}{n^{2}+1}.
Como n^{2}+1\to\infty quando n\to\infty, segue que \dfrac{2}{n^{2}+1}\to 0. Portanto a subsequência ímpar tende a 1:
\lim_{\substack{n\to\infty\\\ n\\ \text{ímpar}}} a_n = 1.í

Passo 5

Resumo das subsequências: a subsequência par converge para 1 e a subsequência ímpar também converge para 1. Pelo fato geral: se duas subsequências que cobrem todos os índices (pares e ímpares) convergem para o mesmo limite L, então a sequência inteira converge para L. Assim conjecturamos que \lim_{n\to\infty} a_n = 1. Agora faremos a prova \varepsilon- N para ser totalmente rigoroso (e para você poder reproduzir isso numa prova).

Passo 6

Prova \varepsilon- N. Seja \varepsilon>0 dado. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N, |a_n-1|<\varepsilon.
  • Se n é par, então |a_n-1|=|1-1|=0<\varepsilon para todo \varepsilon>0. Então todo índice par satisfaz a condição automaticamente.
  • Se n é ímpar, temos a expressão já encontrada:
|a_n-1|=\frac{2}{n^{2}+1}.
Queremos \dfrac{2}{n^{2}+1}<\varepsilon. Basta garantir n^{2}+1>\dfrac{2}{\varepsilon}, o que ocorre se
n>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}-1}.
Para simplificar a escolha de N, é suficiente tomar
N=\left\lceil\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\right\rceil,
pois \sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}}>\sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}-1}. Assim, para todo n\ge N (seja n par ou ímpar) teremos |a_n-1|<\varepsilon.
Isso conclui a prova formal de que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1.

Passo 7

Interpretação prática e dica de prova em prova de faculdade: quando a sequência é dada por pedaços dependendo da paridade, verifique as subsequências par e ímpar. Se ambas tiverem o mesmo limite, faça uma prova \varepsilon- N como a do Passo 6, escolhendo N a partir de uma desigualdade que mande a diferença para menos que \varepsilon. No caso aqui a diferença no ramo ímpar é \dfrac{2}{n^{2}+1}, que tende a 0 rápido (ordem n^{-2}), então escolher N com raiz quadrada em função de \varepsilon é natural.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1

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