Discuta a convergência das seqüências abaixo. a_{n}=\left\{\begin{array}{l}1 \text { se } n \text { é par; } \\\ \frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} \text { se } n \text { é ímpar }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência (a_n)\) definida por partes:
\[a_{n}=\begin{cases} 1 &\text{se \(n é par},\[4pt] \dfrac{n{2}-1}{n{2}+1} &se n é ímpar. \end{cases}]
A pergunta é: discutir a convergência de (a_n) — isto é, determinar se existe \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n e, em caso afirmativo, calcular esse limite.]
Passo 2
Lembrete necessário (definição e ideia que vamos usar). Uma sequência (a_n) converge para L quando, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |a_n-L|<\varepsilon. Uma estratégia prática para sequências definidas por partes (par/ímpar) é estudar as subsequências formadas pelos índices pares e ímpares separadamente; se ambas convergirem para o mesmo limite L, então a sequência inteira converge para L.
Passo 3
Examine a subsequência dos índices pares. Se n é par, então a_n=1. Logo a subsequência formada pelos termos pares é constante igual a 1, portanto converge para 1:
Resumo das subsequências: a subsequência par converge para 1 e a subsequência ímpar também converge para 1. Pelo fato geral: se duas subsequências que cobrem todos os índices (pares e ímpares) convergem para o mesmo limite L, então a sequência inteira converge para L. Assim conjecturamos que \lim_{n\to\infty} a_n = 1. Agora faremos a prova \varepsilon-N para ser totalmente rigoroso (e para você poder reproduzir isso numa prova).
Passo 6
Prova \varepsilon-N. Seja \varepsilon>0 dado. Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N, |a_n-1|<\varepsilon.
Se n é par, então |a_n-1|=|1-1|=0<\varepsilon para todo \varepsilon>0. Então todo índice par satisfaz a condição automaticamente.
Se n é ímpar, temos a expressão já encontrada:
|a_n-1|=\frac{2}{n^{2}+1}.
Queremos \dfrac{2}{n^{2}+1}<\varepsilon. Basta garantir n^{2}+1>\dfrac{2}{\varepsilon}, o que ocorre se
n>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}-1}.
Para simplificar a escolha de N, é suficiente tomar
pois \sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}}>\sqrt{\tfrac{2}{\varepsilon}-1}. Assim, para todo n\ge N (seja n par ou ímpar) teremos |a_n-1|<\varepsilon.
Isso conclui a prova formal de que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1.
Passo 7
Interpretação prática e dica de prova em prova de faculdade: quando a sequência é dada por pedaços dependendo da paridade, verifique as subsequências par e ímpar. Se ambas tiverem o mesmo limite, faça uma prova \varepsilon-N como a do Passo 6, escolhendo N a partir de uma desigualdade que mande a diferença para menos que \varepsilon. No caso aqui a diferença no ramo ímpar é \dfrac{2}{n^{2}+1}, que tende a 0 rápido (ordem n^{-2}), então escolher N com raiz quadrada em função de \varepsilon é natural.