Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede explicitamente o raio de convergência dessa série. Informações relevantes que temos:
- A série está escrita em termos de
, ou seja, é uma série de potências centrada em . - O expoente da potência é
; para trabalhar com a forma padrão é conveniente reindexar. - O que se pede: apenas o raio de convergência
(não está sendo pedido o intervalo completo de convergência ou o comportamento nos extremos).
Passo 2
Reescrever a série na forma padrão de série de potências (fazendo uma mudança de índice) para identificar os coeficientes
.
Defina
. Então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. A série fica
Assim estamos diante de uma série de potências centrada em
com coeficientes
Passo 3
Recordando a fórmula prática para o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard (ou aplicar o teste da raiz) diz que, para
,
Aqui
. Vou calcular
.
Calcule
Passo 4
Avaliar o limite de
quando
. Uma maneira clara é tomar logaritmo:
Seja
. Então
Como
(isto é,
quando
), segue que
Portanto
Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula do Passo 3 com o resultado do Passo 4:
Interpretação rápida e prática: os fatores polinomiais em
no denominador (aqui
) não alteram o raio, apenas coeficientes com decaimento exponencial mudariam
. Como
, o raio é
.