Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^{n-1}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+5)^{\,n-1}}{n^{2}}
e pede explicitamente o raio de convergência dessa série. Informações relevantes que temos:
  • A série está escrita em termos de (x+5)^{n-1}, ou seja, é uma série de potências centrada em x_0=-5.
  • O expoente da potência é n-1; para trabalhar com a forma padrão \sum_{m=0}^\infty c_m (x-x_0)^m é conveniente reindexar.
  • O que se pede: apenas o raio de convergência R (não está sendo pedido o intervalo completo de convergência ou o comportamento nos extremos).

Passo 2

Reescrever a série na forma padrão de série de potências (fazendo uma mudança de índice) para identificar os coeficientes c_m.
Defina m=n-1. Então n=m+1 e, quando n vai de 1 a \infty, m vai de 0 a \infty. A série fica
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x+5)^{m}}{(m+1)^{2}}.
Assim estamos diante de uma série de potências centrada em x_0=-5 com coeficientes
c_m=\frac{1}{(m+1)^{2}}.

Passo 3

Recordando a fórmula prática para o raio de convergência: a fórmula de Cauchy–Hadamard (ou aplicar o teste da raiz) diz que, para \sum c_m (x-x_0)^m,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}}.
Aqui c_m=\dfrac{1}{(m+1)^{2}}. Vou calcular \displaystyle\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}.
Calcule
\sqrt[m]{|c_m|}=\sqrt[m]{\frac{1}{(m+1)^{2}}}=(m+1)^{-2/m}.

Passo 4

Avaliar o limite de (m+1)^{-2/m} quando m\to\infty. Uma maneira clara é tomar logaritmo:
Seja a_m=(m+1)^{-2/m}. Então
\ln a_m=\frac{-2}{m}\ln(m+1).
Como \ln(m+1)=o(m) (isto é, \dfrac{\ln(m+1)}{m}\to 0 quando m\to\infty), segue que
\lim_{m\to\infty}\ln a_m=0.
Portanto
\lim_{m\to\infty}a_m=e^{0}=1.
Assim
\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|c_m|}=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula do Passo 3 com o resultado do Passo 4:
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação rápida e prática: os fatores polinomiais em m no denominador (aqui (m+1)^2) não alteram o raio, apenas coeficientes com decaimento exponencial mudariam R. Como \sqrt[m]{(m+1)^{-2}}\to1, o raio é 1.

Resposta

R=1

Exercícios relacionados