Para cada função, encontre a série de Maclaurin ou a série de Taylor centrada em “a” e determine o intervalo de convergência:
f(x)=\frac{1}{x} e a=5;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de \displaystyle f(x)=\frac1x
ao redor de a=5, isto é, queremos escrever
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\,(x-5)^n
e achar também o intervalo de convergência. Para isso vamos usar a fórmula da série geométrica
\frac1{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n,\quad |u|<1.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\frac1x=\frac1{5+(x-5)} =\frac1{5}\;\frac1{1+\displaystyle\frac{x-5}{5}}.
Aqui identificamos o “ 1+u” com 1+(x-5)/5.

Passo 3

Definimos
u=\frac{x-5}{5}.
Então, desde que |u|<1, podemos usar
\frac1{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n.

Passo 4

Substituindo u=(x-5)/5 em \displaystyle \frac1{5}\,\frac1{1+u}, obtemos
f(x) =\frac1{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x-5}{5}\right)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-5)^n}{5^{\,n+1}}.

Passo 5

A condição de convergência da geométrica é
\biggl|\frac{x-5}{5}\biggr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-5|<5.
Isto equivale a
0<x<10.
Nos pontos x=0 e x=10 a série torna-se \sum(-1)^n ou \sum1, que não convergem.

Resposta

A série de Taylor de \displaystyle\frac1x em torno de a=5 é
\frac1x =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-5)^n}{5^{\,n+1}},
e ela converge para 0<x<10.

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