Determine o raio de convergência das séries.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+5)^{n}}{n(n+1)};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências centrada em -5:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+5)^{n}}{n(n+1)}.
Para encontrar o raio de convergência usamos o Teste da Razão, que compara o termo geral a_n=\frac{(x+5)^{n}}{n(n+1)} com o termo seguinte a_{n+1}.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(x+5)^{n+1}}{(n+1)(n+2)}}{\frac{(x+5)^{n}}{n(n+1)}}\right| =\lim_{n\to\infty}\Bigl|x+5\Bigr|\cdot\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\lim_{n\to\infty}\Bigl|x+5\Bigr|\cdot\frac{n}{n+2} =\bigl|x+5\bigr|.
Para convergência precisamos de L<1, isto é,
\bigl|x+5\bigr|<1.
Isso mostra que o raio de convergência é 1.

Resposta

O raio de convergência é 1.

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