Resolva o seguinte problema de Cauchy:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y}, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (Cauchy)
y' = \frac{x^2}{y}, \quad y(0) = 2.
O conteúdo é equação diferencial ordinária de primeira ordem separável.

Passo 2

Reescrevemos a equação separando variáveis: multiplicamos ambos os lados por y e por dx,
y\,dy = x^2\,dx.

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis,
\int y\,dy = \int x^2\,dx
\frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + C.

Passo 4

Isolamos y^2 e renomeamos a constante:
y^2 = \frac{2x^3}{3} + C_1.
Usando a condição inicial y(0)=2 obtemos
2^2 = \frac{2\cdot0^3}{3} + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 4.

Passo 5

Substituindo C_1 e extraindo a raiz quadrada,
y^2 = \frac{2x^3}{3} + 4 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{4 + \frac{2x^3}{3}}.
Como y(0)=2>0, escolhemos o ramo positivo.

Resposta

y(x) = \sqrt{4 + \frac{2x^3}{3}}.

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