Calcule as integrais trigonométricas: integral sin ^3(x) cos ^2(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral trigonométrica . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas envolvendo seno e cosseno elevados a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração como a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Note que sin^3(x) = sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) pode ser escrita como . E sabemos que pode ser substituída usando a identidade . Então:

Passo 3

Substituímos isso na integral original:
integral sin^3(x) cos^2(x) , dx = integral sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) cdot cos^2(x) , dx
Simplificando os termos:
= integral sin(x) cdot (cos^2(x) - cos^4(x)) , dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral sin(x) cdot (cos^2(x) - cos^4(x)) , dx = integral (cos^2(x) - cos^4(x)) cdot sin(x) , dx = integral (u^2 - u^4) cdot (-du)
Simplificando:
= -integral (u^2 - u^4) , du = integral (u^4 - u^2) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^4 , du = u^55 e integral u^2 , du = u^33
Então:
integral (u^4 - u^2) , du = u^55 - u^33 + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original (cos(x))^55 - (cos(x))^33 + C , lembrando que :

Resposta

A integral cos^5(x)5 - cos^3(x)3 + C é igual a:

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