Determine o raio de convergências para a seguinte série:
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência de uma série de potências centrada em 3: \
[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n(n+1)}.\
Isso envolve o conteúdo de testes de convergência de séries de potências, em especial o teste da razão ou o teste da raiz para determinar o raio de convergência.
Isso envolve o conteúdo de testes de convergência de séries de potências, em especial o teste da razão ou o teste da raiz para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Definindo \
[a_n = \frac{1}{n(n+1)},\
o termo geral é \
[u_n = a_n,(x-3)^n.\
O teste da razão pede o limite \
[L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{(x-3)^n}\right|
= \lim_{n\to\infty} |x-3| \cdot \frac{n}{n+2}.\
Como \
[\frac{n}{n+2}\to 1,\
segue que \
[L = |x-3|.
o termo geral é \
[u_n = a_n,(x-3)^n.\
O teste da razão pede o limite \
[L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|
= \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{n(n+1)}{(x-3)^n}\right|
= \lim_{n\to\infty} |x-3| \cdot \frac{n}{n+2}.\
Como \
[\frac{n}{n+2}\to 1,\
segue que \
[L = |x-3|.
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge se \
[L < 1\
ou seja\
[|x-3| < 1.\
Isso define o intervalo de convergência centrado em 3 com raio \
[R = 1.
ou seja\
[|x-3| < 1.\
Isso define o intervalo de convergência centrado em 3 com raio \
[R = 1.
Resposta
R = 1