Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a forma da série para facilitar a análise. Observe que (x+5)^n-1 pode ser reescrito como (x+5)^nx+5. Assim, a série fica:
sumn=2^infty (x+5)^n-1n^2 = 1x+5 sumn=2^infty (x+5)^nn^2

Passo 3

Agora, vamos focar na série sumn=2^infty (x+5)^nn^2. Para descobrir o raio de convergência, utilizaremos o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge.

Passo 4

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
limn to infty | (x+5)^nn^2 |^1/n = |x + 5| cdot limn to infty 1n^2/n = |x + 5|
Aqui, usamos que limn to infty n^2/n = 1, então o limite simplifica para |x + 5|.

Passo 5

Para a série convergir pelo Teste da Raiz, precisamos que:
|x + 5| < 1
Isso significa que x + 5 deve estar dentro do intervalo (-1, 1).

Passo 6

Resolvendo a desigualdade $ -1 < x + 5 < 1 $, encontramos:
-1 < x + 5 < 1
Então, inicialmente, o intervalo de convergência é -6 < x < -4 .

Passo 7

Agora, vamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série também converge nesses pontos.
  • Para x = -6:
(x + 5) = -1 implies (x+5)^nn^2 = (-1)^nn^2
A série sumn=2^infty (-1)^nn^2 converge por ser uma série alternada e porque n^2 cresce suficientemente rápido (teste p com p=2 > 1).
  • Para x = -4:
(x + 5) = 1 implies (x+5)^nn^2 = 1n^2
A série sumn=2^infty 1n^2 também converge pelo teste p, já que p=2 > 1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-6, -4].

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