Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a forma da série para facilitar a análise. Observe que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na série . Para descobrir o raio de convergência, utilizaremos o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 4
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
Aqui, usamos que limn to infty n^2/n = 1, então o limite simplifica para |x + 5|.
Passo 5
Para a série convergir pelo Teste da Raiz, precisamos que:
|x + 5| < 1
Isso significa que x + 5 deve estar dentro do intervalo (-1, 1).
Passo 6
Resolvendo a desigualdade $ -1 < x + 5 < 1 $, encontramos:
-1 < x + 5 < 1
Então, inicialmente, o intervalo de convergência é -6 < x < -4 .
Passo 7
Agora, vamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série também converge nesses pontos.
Para x = -6:
(x + 5) = -1 implies (x+5)^nn^2 = (-1)^nn^2
A série sumn=2^infty (-1)^nn^2 converge por ser uma série alternada e porque n^2 cresce suficientemente rápido (teste p com p=2 > 1).
Para x = -4:
(x + 5) = 1 implies (x+5)^nn^2 = 1n^2
A série sumn=2^infty 1n^2 também converge pelo teste p, já que p=2 > 1.
Resposta
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-6, -4].