Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn ln n

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de séries infinitas, mais especificamente para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn ln n
O conteúdo que precisamos usar envolve testes de convergência de séries e conceitos de radio de convergência. Vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge absolutamente.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
x
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
an = (-1)^n x^nn ln n
Calculamos $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
Simplificando:
| an+1an |

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Sabemos que:
L = limn to infty |x| cdot nn+1 cdot ln nln (n+1)
E também:
limn to infty nn+1 = 1
Portanto:
limn to infty ln nln (n+1) = 1

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir absolutamente, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso significa que o raio de convergência é $ R = 1 $.

Passo 6

Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para $ |x| < 1 $. Precisamos verificar o que acontece nos pontos finais $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 7

Primeiro, vamos testar $ x = 1 $:
A série se torna:
x = 1
Usamos o Teste da Série Alternada aqui, que diz que se os termos $ b_n = \frac{1}{n \ln n} $ são decrescentes e tendem a zero, então a série converge.
De fato, $ \frac{1}{n \ln n} $ é decrescente e tende a zero quando $ n $ tende ao infinito, então a série converge em $ x = 1 $.

Passo 8

Agora, vamos testar $ x = -1 $:
A série se torna:
x = -1
Essa é uma série de termos positivos. Para saber se ela converge, podemos usar o Teste da Integral.
Considerando a integral:
sumn=1^infty (-1)^n cdot (-1)^nn ln n = sumn=1^infty 1n ln n
Fazendo a substituição $ u = \ln x $, $ du = \frac{1}{x} dx $, a integral se torna:
integral2^infty 1x ln x dx
Quando avaliamos de 2 a infinito, percebemos que a integral diverge, o que implica que a série $ \sum \frac{1}{n \ln n} $ também diverge.

Passo 9

Então, no ponto $ x = -1 $, a série não converge.

Resposta

O raio de convergência da série é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 1 $.

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