Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de séries infinitas, mais especificamente para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
O conteúdo que precisamos usar envolve testes de convergência de séries e conceitos de radio de convergência. Vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão e o Teste da Série Alternada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge absolutamente.
O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite
Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
Calculamos $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Sabemos que:
E também:
Portanto:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir absolutamente, precisamos que $ L < 1 $:
Isso significa que o raio de convergência é $ R = 1 $.
Passo 6
Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge absolutamente para $ |x| < 1 $. Precisamos verificar o que acontece nos pontos finais $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 7
Primeiro, vamos testar $ x = 1 $:
A série se torna:
Usamos o Teste da Série Alternada aqui, que diz que se os termos $ b_n = \frac{1}{n \ln n} $ são decrescentes e tendem a zero, então a série converge.
De fato, $ \frac{1}{n \ln n} $ é decrescente e tende a zero quando $ n $ tende ao infinito, então a série converge em $ x = 1 $.
Passo 8
Agora, vamos testar $ x = -1 $:
A série se torna:
Essa é uma série de termos positivos. Para saber se ela converge, podemos usar o Teste da Integral.
Considerando a integral:
Fazendo a substituição $ u = \ln x $, $ du = \frac{1}{x} dx $, a integral se torna:
Quando avaliamos de 2 a infinito, percebemos que a integral diverge, o que implica que a série $ \sum \frac{1}{n \ln n} $ também diverge.
Passo 9
Então, no ponto $ x = -1 $, a série não converge.
Resposta
O raio de convergência da série é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x \leq 1 $.