Exercício 1: Resolver os seguintes itens.

Passo 1

A gente quer resolver a equação lvert x^2 + 2x - 3rvert = 2 + lvert x^2 - x + 2rvert. Isso cai em equações com valores absolutos de expressões quadráticas, então vamos usar a definição de módulo e análise de sinais para cada polinômio.

Passo 2

Observe o polinômio g(x)=x^2 - x + 2. O discriminante é De, ou seja, g(x)>0 para todo x. Logo podemos substituir lvert g(x)rvert = g(x) e reescrever a equação como
lvert f(x)rvert = x^2 - x + 4,
onde f(x)=x^2 + 2x - 3.

Passo 3

Agora vamos estudar os sinais de f(x). Primeiro, achemos as raízes de f(x)=0:
x^2 + 2x - 3 = 0 implies x = 1 ou x = -3
Isso divide a reta em três intervalos:
,(-infty,-3],;(-3,1),;[1,infty). Em (-infty,-3]cup[1,infty) temos f(x)>=0, e em (-3,1) temos f(x)<0.

Passo 4

Caso f(x)>=0, isto é x<= -3 ou x>=1, vale
lvert f(x)rvert = f(x) = x^2 + 2x - 3
Substituindo na equação simplificada:
x^2 + 2x - 3 = x^2 - x + 4
Cancelando x^2 de ambos os lados e reorganizando,
2x - 3 = -x + 4 implies 3x = 7 implies x = tfrac73
Como tfrac73approx2.33>=1, essa solução é válida neste caso.

Passo 5

Caso f(x)<0, ou seja -3< x<1, vale
lvert f(x)rvert = -f(x) = -x^2 - 2x + 3
A equação fica
-x^2 - 2x + 3 = x^2 - x + 4 implies 2x^2 + x + 1 = 0
O discriminante é 1 - 8 = -7<0, então não há raízes reais nesse intervalo.

Passo 6

Portanto, a única solução real da equação é x = tfrac73.

Resposta

x = \tfrac{7}{3}

Exercícios relacionados