Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série infinita:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde $ a_n = \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} $.

Passo 3

Vamos calcular $ a_{n+1} $:
an+1

Passo 4

Agora, montamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an
Simplificando os termos, obtemos:
an+1an = 2^n+1(2n + 2)! x^2n + 2 cdot (2n)!2^n x^2n = 2 cdot x^2(2n + 1)(2n + 2)

Passo 5

Vamos agora calcular o limite $ L $:
L
À medida que $ n $ cresce, os termos $ (2n + 1) $ e $ (2n + 2) $ também crescem, fazendo com que o denominador cresça muito mais rápido que o numerador. Portanto:
L = limn to infty | 2 x^2(2n + 1)(2n + 2) |

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se $ L < 1 $, a série converge absolutamente. Aqui, como $ L = 0 $ para todo valor de $ x $, a série converge para qualquer $ x $.

Passo 7

O raio de convergência $ R $ é o valor tal que a série converge para $ |x| < R $. Como a série converge para qualquer $ x $, o raio de convergência é infinito.
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a série converge. Aqui, como converge para qualquer $ x $, o intervalo de convergência é:
R

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.

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