Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série infinita:
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite:
onde $ a_n = \frac{2^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} $.
Passo 3
Vamos calcular $ a_{n+1} $:
Passo 4
Agora, montamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos, obtemos:
Passo 5
Vamos agora calcular o limite $ L $:
À medida que $ n $ cresce, os termos $ (2n + 1) $ e $ (2n + 2) $ também crescem, fazendo com que o denominador cresça muito mais rápido que o numerador. Portanto:
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, se $ L < 1 $, a série converge absolutamente. Aqui, como $ L = 0 $ para todo valor de $ x $, a série converge para qualquer $ x $.
Passo 7
O raio de convergência $ R $ é o valor tal que a série converge para $ |x| < R $. Como a série converge para qualquer $ x $, o raio de convergência é infinito.
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a série converge. Aqui, como converge para qualquer $ x $, o intervalo de convergência é:
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.