Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o raio e o intervalo de convergência da série . A matéria envolvida aqui é séries de potências, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a expressão, o termo geral é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se:
Então, a série converge se L < 1, diverge se L > 1 e é inconclusiva se L = 1.
Agora, vamos tomar o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | 2n+12n+2 x^2 | = limn to infty | 2n2n x^2 | = |x^2|
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x^2| < 1 implies |x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 1, então o intervalo inicial é -1 < x < 1. Vamos verificar as pontas x = -1 e x = 1.