Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty 1.3 5 ldots(2 n-1)2.4 6 ldots (2 n) x^2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2n) x^2n+1. A matéria envolvida aqui é séries de potências, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a expressão, o termo geral an é:
an = 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2n) x^2n+1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
Então, a série converge se L < 1, diverge se L > 1 e é inconclusiva se L = 1.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an+1an = 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2(n+1)-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2(n+1)) x^2(n+1)+11 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2n) x^2n+1
Simplificando isso:
an+1an = (2n+1)(2n+2) x^2

Passo 5

Agora, vamos tomar o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | 2n+12n+2 x^2 | = limn to infty | 2n2n x^2 | = |x^2|

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x^2| < 1 implies |x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 1, então o intervalo inicial é -1 < x < 1. Vamos verificar as pontas x = -1 e x = 1.
Para x = 1:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2n) cdot 1^2n+1
Essa série converge, pois é uma forma da série de Wallis.
Para x = -1:
sumn=1^infty 1 cdot 3 cdot 5 ldots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots (2n) cdot (-1)^2n+1
Também converge, já que o termo (-1)^2n+1 = -1 apenas muda o sinal dos termos, mas não afeta a convergência.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é [-1, 1].

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