Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
sumn=0^infty x^2n+1(-4)^n
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potência e aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a análise. Observe que podemos fatorar o termo x da seguinte maneira:
x^2n+1(-4)^n = x cdot ( x^2-4 )^n
Então, a série fica:
x cdot sumn=0^infty ( x^2-4 )^n

Passo 3

Agora, notamos que a parte da soma é uma série geométrica da forma sumn=0^infty r^n, onde r é a razão comum. Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se:
|r| < 1
No nosso caso, a razão r é:
r = x^2-4

Passo 4

Vamos aplicar a condição de convergência da série geométrica:
| x^2-4 | < 1
Simplificando o valor absoluto:
x^24 < 1
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 < 4

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar os valores de x:
|x| < 2
Isso significa que a série converge para todos os valores de x cujo valor absoluto é menor que 2.

Passo 6

O raio de convergência R é o valor que multiplica a variável na condição |x| < R. Aqui, vimos que R = 2.
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de x que satisfazem a condição de convergência. Portanto, neste caso, o intervalo é:
-2 < x < 2

Resposta

O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é (-2, 2).

Exercícios relacionados