Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potência e aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para facilitar a análise. Observe que podemos fatorar o termo
da seguinte maneira:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, notamos que a parte da soma é uma série geométrica da forma
, onde
é a razão comum. Sabemos que uma série geométrica converge se e somente se:
No nosso caso, a razão
é:
Passo 4
Vamos aplicar a condição de convergência da série geométrica:
Simplificando o valor absoluto:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 5
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar os valores de
x :
Isso significa que a série converge para todos os valores de
x cujo valor absoluto é menor que 2.
Passo 6
O raio de convergência
R é o valor que multiplica a variável na condição
|x| < R . Aqui, vimos que
R = 2 .
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de
x que satisfazem a condição de convergência. Portanto, neste caso, o intervalo é:
Resposta
O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é
(-2, 2) .