Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=0^infty n(x-1)^2 n3^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita:
sumn=0^infty n(x-1)^2n3^2n-1
Isso envolve análise de séries de potências, que é parte do estudo de cálculo. Vamos precisar usar o teste da razão para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observe que:
n(x-1)^2n3^2n-1 = n cdot (x-1)^2n cdot 3^-(2n-1)
Podemos reescrever 3^-(2n-1) como:
3^-(2n-1) = 13^2n-1 = 33^2n
Assim, a série fica:
sumn=0^infty n cdot ((x-1)^29)^n cdot 3
Mas o fator 3 pode ser tirado da série:
3 sumn=0^infty n ((x-1)^29)^n

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão para encontrar o raio de convergência. O teste da razão usa o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = n ((x-1)^29)^n. Vamos calcular:
an+1 = (n+1) ((x-1)^29)^n+1
Então:
an+1an = (n+1) ((x-1)^29)^n+1n ((x-1)^29)^n = n+1n cdot (x-1)^29
Tomando o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+1n cdot (x-1)^29 = 1 cdot (x-1)^29 = (x-1)^29
Para que a série converja, precisamos que L < 1:
(x-1)^29 < 1

Passo 4

Vamos resolver a inequação:
(x-1)^29 < 1
Multiplicando ambos os lados por 9:
(x-1)^2 < 9
Agora, tirando a raiz quadrada:
|x - 1| < 3
Isso nos dá o intervalo de convergência:
-3 < x - 1 < 3
Somando 1 a todos os lados:
-2 < x < 4
O raio de convergência ® é o valor que representa a distância do centro da série até os pontos de convergência, que nesse caso é 3.

Resposta

O raio de convergência da série é 3, e o intervalo de convergência é o intervalo aberto de x entre -2 e 4, ou seja, -2 < x < 4.

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