Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão para descobrir até onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa raio de convergência. Ele indica até que valor de $ x $ a série converge. Para encontrar esse raio, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral $ a_n $ é:
an
Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Simplificando os sinais e as potências de $ x $:
an+1an

Passo 5

Agora, pegamos o valor absoluto desse quociente e calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Como $ L = 0 $, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de $ x $.

Passo 6

Então, o raio de convergência $ R $ é infinito, ou seja, $ R = +\infty $. Isso significa que a série converge para qualquer valor real de $ x $.

Resposta

O raio de convergência é $ R = +\infty $ e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.

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