Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Vamos usar conceitos de séries de potências e o teste da razão para descobrir até onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa raio de convergência. Ele indica até que valor de $ x $ a série converge. Para encontrar esse raio, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 3
O teste da razão funciona assim: calculamos o limite
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral $ a_n $ é:
Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os sinais e as potências de $ x $:
Passo 5
Agora, pegamos o valor absoluto desse quociente e calculamos o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Como $ L = 0 $, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de $ x $.
Passo 6
Então, o raio de convergência $ R $ é infinito, ou seja, $ R = +\infty $. Isso significa que a série converge para qualquer valor real de $ x $.
Resposta
O raio de convergência é $ R = +\infty $ e o intervalo de convergência é $ (-\infty, \infty) $.