Em cada um dos Problemas de 23 a 30, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial
x² y″ – (x – 0,1875) y = 0, x>0
e já nos informa uma solução conhecida
y₁(x)=x⁵ e^{2√x}.
O conteúdo é “redução de ordem” para achar y₂ a partir de y₁, e vamos precisar reescrever a EDO na forma padrão y″+p(x)y′+q(x)y=0 e usar a fórmula de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão. Dividindo por x²:
y″ – \frac{x–0,1875}{x²} y = 0.
Note que
\frac{x–0,1875}{x²}=\frac1x–\frac{0,1875}{x²}=\frac1x–\frac{3/16}{x²}.
Então a EDO vira
y″ + 0·y′ + \Bigl(-\frac1x+\frac{3}{16x²}\Bigr)y=0,
logo p(x)=0.
Passo 3
Como p(x)=0, pela fórmula de redução de ordem temos
y₂(x)=y₁(x)·∫\frac{e^{-∫p(x)dx}}{y₁(x)²}dx
mas como p=0 isso é
y₂(x)=y₁(x)·∫\frac{1}{y₁(x)²}dx.
E já sabemos y₁²=x{10}e{4√x}, logo 1/y₁²=x{-10}e{-4√x}.
Passo 4
Precisamos então calcular
\displaystyle ∫x{-10}e{-4√x},dx.
Fazemos a troca de variável t=√x, então x=t², dx=2t,dt. Isso dá
x{-10}=t{-20},
então
∫x{-10}e{-4√x}dx=∫t{-20}e{-4t}·2t,dt=2∫t{-19}e{-4t}dt.
Não há primitiva elementar simples: fica em termos de função gama incompleta ou integral exponencial.
Passo 5
Portanto a segunda solução fica expressa em forma integral, com t=√x:
Passo 6
y₂(x)=x⁵e{2√x}·\displaystyle∫x{-10}e^{-4√x}dx
Passo 7
ou, em t,
Resposta
y₂(x)=x⁵e^{2√x}\displaystyle\int x{-10}e{-4\sqrt{x}},dx