Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 5 n+1n(x-1)^n

Passo 1

A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 5n+1n(x-1)^n
Estamos trabalhando com séries de potências, e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência, e depois analisar os pontos extremos para ver se eles entram no intervalo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Seja
an = 5n+1n,
então o termo geral é an (x-1)^n. Calculamos
L = limntoinfty |an+1(x-1)^n+1an (x-1)^n| = |x-1| ;limntoinfty 5(n+1)+1n+1 cdot n5n+1
Para grandes n temos
5(n+1)+1n+1 cdot n5n+1 = 5n+6n+1 cdot n5n+1 to 1
Então o limite do quociente é L = |x-1|. Pelo teste da razão, convergimos se L<1, ou seja, se

Passo 3

isso equivale a
|x-1|<1
Logo o raio de convergência é R=1 e a região de convergência absoluta é
1-1 < x < 1+1 Longrightarrow 0

Passo 4

Agora precisamos checar os extremos x=0 e x=2 separadamente.

Passo 5

Para x=0, temos x-1=-1 e a série se torna
sumn=1^infty 5n+1n(-1)^n = sumn=1^infty l(5 + 1nr)(-1)^n = 5sumn=1^infty (-1)^n + sumn=1^infty (-1)^nn
O segundo somatório converge (série alternada de Leibniz), mas sum(-1)^n não converge porque os termos não tendem a zero. Portanto a soma inteira diverge.

Passo 6

Para x=2, temos x-1=1 e a série vira
sumn=1^infty 5n+1n = sumn=1^infty l(5 + 1nr),
que obviamente diverge pois os termos não tendem a zero.

Passo 7

Concluindo, o raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência, sem incluir os extremos, é (0,2).

Resposta

Raio de convergência: R = 1
Intervalo de convergência: (0, 2)

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