A série
converge? Justifique sua resposta.
Passo 1
Ok, vamos ver o que está sendo pedido aqui. Temos a série infinita:
A pergunta é: essa série converge? Para responder, vamos usar conceitos de análise de séries, especificamente o Teste de Comparação que nos ajuda a determinar se uma série converge ou não comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Sabemos que o termo
(seno de
) varia entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então, o numerador
fica entre 0 e 2, ou seja:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos comparar a série dada com outra série que conhecemos a convergência. Consideremos a série:
Sabemos que a série
é uma série p com
, e séries p com
convergem. Multiplicando por 2, a série
também converge.
Passo 4
Como cada termo da nossa série original
é menor ou igual ao termo correspondente da série
, podemos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste diz que se uma série maior converge, então a série menor também converge.
Passo 5
Portanto, já que
converge e
, concluímos que a série original:
converge.
Resposta
A série
converge.