A série
sumn=1^infty 1+sen(n)n^2+1
converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

Ok, vamos ver o que está sendo pedido aqui. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 1+sen(n)n^2+1
A pergunta é: essa série converge? Para responder, vamos usar conceitos de análise de séries, especificamente o Teste de Comparação que nos ajuda a determinar se uma série converge ou não comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = 1+sen(n)n^2+1
Sabemos que o termo 0 <= 1 + sen(n) <= 2 (seno de 0 <= an = 1+sen(n)n^2+1 <= 2n^2+1 ) varia entre -1 e 1 para qualquer valor de . Então, o numerador fica entre 0 e 2, ou seja:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos comparar a série dada com outra série que conhecemos a convergência. Consideremos a série:
sumn=1^infty 2n^2
Sabemos que a série é uma série p com , e séries p com convergem. Multiplicando por 2, a série também converge.

Passo 4

Como cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série , podemos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste diz que se uma série maior converge, então a série menor também converge.

Passo 5

Portanto, já que sumn=1^infty 1+sen(n)n^2+1 converge e , concluímos que a série original:
converge.

Resposta

A série converge.

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