Determine se a série converge ou diverge e indique o teste usado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge e indicar o teste usado.
Informações dadas: a expressão do termo geral é para
. Não há outras condições fornecidas.
Informações dadas: a expressão do termo geral é
Passo 2
Vou pensar nos testes possíveis sem ainda calcular nada. Três ideias naturais são:
- testar a convergência absoluta, olhando para
; - aplicar o teste da série alternada (teste de Leibniz), que exige que os módulos dos termos sejam monotonicamente decrescentes para
; - usar o teste do termo geral (teste da divergência): se
ou não existe, a série diverge.
Entre esses, o teste do termo geral é o mais direto: basta verificar o limite do termo geral. Se os termos não tendem a zero, já podemos concluir divergência imediatamente.
Passo 3
Calculo o limite do módulo do termo (isso já dá informação suficiente sobre o termo com sinal alternado):
Divido numerador e denominador por
:
Portanto
.
Passo 4
Como
, isso implica que
não é
(na verdade os termos oscilam em sinal, com módulo tendendo a
). Pelo teste do termo geral (teste da divergência): se
então a série
diverge. Logo a série dada diverge.
Observação didática: o teste de Leibniz para séries alternadas exige que os módulos
tendam a
e sejam monotonicamente decrescentes a partir de algum
. Aqui nem mesmo a condição de limite a
é satisfeita, então não há convergência condicional. Quanto à convergência absoluta, como
, a série das parcelas positivas
também não pode convergir.
Resposta
A série diverge (teste do termo geral, pois
).