Determine se a série converge ou diverge e indique o teste usado.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{2 n+5}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{2n+5}
converge ou diverge e indicar o teste usado.
Informações dadas: a expressão do termo geral é \displaystyle a_n = (-1)^{n}\frac{n}{2n+5} para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Vou pensar nos testes possíveis sem ainda calcular nada. Três ideias naturais são:
  • testar a convergência absoluta, olhando para \displaystyle |a_n|=\frac{n}{2n+5};
  • aplicar o teste da série alternada (teste de Leibniz), que exige que os módulos dos termos sejam monotonicamente decrescentes para 0;
  • usar o teste do termo geral (teste da divergência): se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 ou não existe, a série diverge.
Entre esses, o teste do termo geral é o mais direto: basta verificar o limite do termo geral. Se os termos não tendem a zero, já podemos concluir divergência imediatamente.

Passo 3

Calculo o limite do módulo do termo (isso já dá informação suficiente sobre o termo com sinal alternado):
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+5}.
Divido numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+5} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 + 5/n} = \frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}.
Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+5}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=\frac{1}{2}\neq 0, isso implica que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n não é 0 (na verdade os termos oscilam em sinal, com módulo tendendo a 1/2). Pelo teste do termo geral (teste da divergência): se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série \sum a_n diverge. Logo a série dada diverge.
Observação didática: o teste de Leibniz para séries alternadas exige que os módulos b_n=\frac{n}{2n+5} tendam a 0 e sejam monotonicamente decrescentes a partir de algum N. Aqui nem mesmo a condição de limite a 0 é satisfeita, então não há convergência condicional. Quanto à convergência absoluta, como |a_n|\not\to 0, a série das parcelas positivas \sum |a_n| também não pode convergir.

Resposta

A série diverge (teste do termo geral, pois \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+5}=\tfrac{1}{2}\neq0).

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