Determine o raio e o intervalo de convergência da série
sumk=2^infty(-1)^k (2 x+3)^kk ln k

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série
sumk=2^infty(-1)^k,(2x+3)^kkln k
Trata-se de uma série de potências em torno de um ponto x0, e vamos usar o teste da raiz (para achar o raio) e depois testar os extremos (para o intervalo).

Passo 2

Vamos definir t=2x+3 para enxergarmos a forma padrão
sumk=2^inftyak,t^k, ak=(-1)^k1kln k
Pelo teste da raiz calculamos
$$
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}
=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac1{k\ln k}}
=1,
$$
logo a série converge se limsupktoinftyraiz[k]|ak| =limsupktoinftyraiz[k]1kln k =1, e diverge se |t|<1.

Passo 3

A condição |t|<1 fica
|2x+3|<1
que equivale a
l|x+tfrac32r|
Portanto o raio de convergência é
R=tfrac12

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=-1 temos t=2(-1)+3=1, e a série vira
$$\sum_{k=2}{\infty}(-1)k\frac{1^k}{k\ln k}=\sum_{k=2}{\infty}\frac{(-1)k}{k\ln k}.
$$
Como os termos sumk=2^infty(-1)^k1^kkln k=sumk=2^infty(-1)^kkln k são positivos, decrescentes e tendem a zero, a série converge condicionalmente (critério de Leibniz), mas não converge absolutamente.

Passo 5

Para x=-2 temos t=2(-2)+3=-1, e a série vira
$$\sum_{k=2}{\infty}(-1)k\frac{(-1)^k}{k\ln k}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac1{k\ln k}.
$$
Essa série de termos positivos diverge pelo teste da integral (é equivalente a sumk=2^infty(-1)^k(-1)^kkln k=sumk=2^infty1kln k ).

Passo 6

Juntando tudo, o raio de convergência é R=1/2 e o intervalo de convergência é
-2

Resposta

Raio de convergência: R=1/2; intervalo de convergência: (-2, -1]

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