Determine se as sequências convergem ou divergem. Justifique.
an=sin ^2 nraizn

Passo 1

O exercício pede para analisar a convergência da sequência an = sin^2 nraizn. O conteúdo é limite de sequência e vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze).

Passo 2

Sabemos que para todo inteiro n vale 0 <= sin^2 n <= 1. Isso decorre de que -1 <= sin n <= 1 e, ao elevar ao quadrado, o valor fica entre 0 e 1.
Dividindo essa desigualdade por raizn>0, obtemos
0 <= sin^2 nraizn <= 1raizn

Passo 3

Conhecemos que limntoinfty 1raizn = 0, pois o denominador cresce sem limite e faz a fração tender a zero.
Pelo Teorema do Confronto, como a sequência an está entre 0 e 1/raizn, ambas com limite 0, concluímos que an também converge para 0.

Resposta

A sequência converge e limntoinfty an = 0.

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