Exercs. 1-4: (a) Desenvolva f(x) em série de potências. (b) Use o Teorema (11.40) para representar f^prime(x) e integral0^x f(t) d t em série de potências.
f(x)=11-3 x,|x|<13

Passo 1

O exercício pede para expandir em série de potências a função f(x)=11-3x, e depois usar o Teorema 11.40 (que permite derivar e integrar termo a termo dentro do raio de convergência) para obter as séries de f'(x) e de integral0^xf(t),dt. Vamos usar o fato de que 11-u=sumn=0^infty u^n para |u|<1.

Passo 2

Aplique a expansão geométrica com u=3x. Como |x| garante |u|<1, temos
f(x)=11-3x=sumn=0^infty(3x)^n=sumn=0^infty3^n,x^n

Passo 3

Agora usamos o Teorema 11.40 para derivar termo a termo:
f'(x)=ddxsumn=0^infty3^n x^n=sumn=0^infty3^nddx(x^n)=sumn=1^infty n,3^n,x^n-1

Passo 4

Finalmente aplicamos a integração termo a termo (mesmo teorema):
integral0^x f(t),dt=integral0^xsumn=0^infty3^n t^n,dt=sumn=0^infty3^nintegral0^x t^n,dt=sumn=0^infty3^nx^n+1n+1

Resposta

(a) f(x)=sumn=0^infty3^n,x^n
(b) f'(x)=sumn=1^infty n,3^n,x^n-1,
integral0^x f(t),dt=sumn=0^infty3^nn+1,x^n+1

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