Calcule a soma da série
sumk=2^infty 5^-(k+1) ln (k^5k+1)

Passo 1

A série em questão é
S=sumk=2^infty5^-(k+1)lnl(k^5k+1r)
Este é um exercício de soma de série infinita com logaritmos, e vamos usar a propriedade de log e telescópios para resolver.

Passo 2

Primeiro aplicamos a propriedade ln(a/b)=ln a-ln b em cada termo:
5^-(k+1)lnl(k^5k+1r)=5^-(k+1)l(5ln k-ln(k+1)r)
Em seguida distribuímos o fator:\n- 5^-(k+1)cdot5=5^-k
- mantemos 5^-(k+1) no segundo.

Passo 3

Reescrevendo a série com essas duas parcelas, temos
S=sumk=2^inftyl(5^-kln kr)-sumk=2^inftyl(5^-(k+1)ln(k+1)r)
Na segunda soma fazemos a mudança de índice j=k+1, então k=2to j=3 e kto j-1:
sumk=2^infty5^-(k+1)ln(k+1)=sumj=3^infty5^-jln j

Passo 4

Agora as somas ficam
S=sumk=2^infty5^-kln k-sumk=3^infty5^-kln k
Observando que os termos para k=3,4,dots se cancelam, sobra apenas o termo de k=2 da primeira soma, e um resto que vai a zero quando consideramos a soma infinita.

Passo 5

Tomando soma parcial até N e fazendo Ntoinfty, obtemos
S=5^-2ln2-limNtoinfty5^-(N+1)ln(N+1)=ln225-0
Portanto o valor da série é ln2/25.

Resposta

ln225

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