Determine o raio e o intervalo de convergência da sé
sumn=1^infty (x-1)^nn 5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty (x-1)^nn cdot 5^n
Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência de séries. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Aqui, temos uma série de potências centrada em $ x = 1 $:
x = 1
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de $ x $ essa série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que a série sum an converge se o limite
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1.
Vamos calcular esse limite:
an+1an = (x-1)^n+1(n+1) cdot 5^n+1(x-1)^nn cdot 5^n = (x-1)^n+1 cdot n cdot 5^n(n+1) cdot 5^n+1 cdot (x-1)^n = (x-1) cdot n5(n+1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L = limn to infty | (x-1) cdot n5(n+1) | = limn to infty | (x-1)5 cdot nn+1 | = | x-15 | cdot limn to infty nn+1 = | x-15 | cdot 1 = | x-15 |

Passo 5

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $:
x
Multiplicando todos os termos por 5:
| x-15 | < 1 implies -1 < x-15 < 1
Somando 1 em todos os lados:
-5 < x - 1 < 5
Então, o raio de convergência $ R $ é 5, e o intervalo de convergência é $ (-4, 6) $. Agora, precisamos verificar os extremos $ x = -4 $ e $ x = 6 $ para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 6

Vamos testar $ x = -4 $:
x = -4
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Agora, vamos testar $ x = 6 $:
sumn=1^infty (-4-1)^nn cdot 5^n = sumn=1^infty (-5)^nn cdot 5^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 5 $ e o intervalo de convergência é $ [-4, 6) $.

Exercícios relacionados