Determine o raio e o intervalo de convergência da sé
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência de séries. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Aqui, temos uma série de potências centrada em $ x = 1 $:
Nosso objetivo é encontrar para quais valores de $ x $ essa série converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que a série
converge se o limite
for menor que 1.
Vamos calcular esse limite:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Passo 5
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de $ x $:
Multiplicando todos os termos por 5:
Somando 1 em todos os lados:
Então, o raio de convergência $ R $ é 5, e o intervalo de convergência é $ (-4, 6) $. Agora, precisamos verificar os extremos $ x = -4 $ e $ x = 6 $ para ver se a série converge nesses pontos.
Passo 6
Vamos testar $ x = -4 $:
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Agora, vamos testar $ x = 6 $:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 5 $ e o intervalo de convergência é $ [-4, 6) $.