Mostre que a função f(x)=raizx-4 é contínua no intervalo [4 ; 8].

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ e precisa mostrar que ela é contínua no intervalo f(x) = raizx - 4 . Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções, especialmente para funções de raiz quadrada. Vamos precisar lembrar que uma função é contínua num intervalo se não tiver quebras, saltos ou interrupções nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $. Essa função só está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero, ou seja:
f(x) = raizx - 4
Isso implica que:
x - 4 >= 0
Então, o domínio da função é $ x \geq 4 $, o que inclui todo o intervalo x >= 4 que a gente quer analisar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida nesse ponto.
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima desse ponto existe.
  3. O limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Como queremos mostrar que a função é contínua em todo o intervalo x , precisamos verificar esses três pontos para cada $ x $ nesse intervalo.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em todos os pontos de [4 ; 8]. Como vimos no Passo 2, $ x \geq 4 $ está dentro do domínio, então a função está definida para todo $ x $ nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite da função quando $ x $ se aproxima de qualquer ponto $ c $ em x . A função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ é uma função composta de uma raiz quadrada e uma função linear, que são ambas contínuas onde estão definidas. Portanto, o limite existe para todo $ c $ em c .

Passo 6

Finalmente, precisamos confirmar que o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $. Ou seja:
x
Como isso é verdadeiro para todo $ c $ em c , a terceira condição de continuidade também é satisfeita.

Resposta

Portanto, a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ é contínua no intervalo f(x) = raizx - 4 .

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