Mostre que a função
é contínua no intervalo
.
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ e precisa mostrar que ela é contínua no intervalo
. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções, especialmente para funções de raiz quadrada. Vamos precisar lembrar que uma função é contínua num intervalo se não tiver quebras, saltos ou interrupções nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $. Essa função só está definida quando o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero, ou seja:
Isso implica que:
Então, o domínio da função é $ x \geq 4 $, o que inclui todo o intervalo
que a gente quer analisar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se:
- A função está definida nesse ponto.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima desse ponto existe.
- O limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Como queremos mostrar que a função é contínua em todo o intervalo
, precisamos verificar esses três pontos para cada $ x $ nesse intervalo.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: a função está definida em todos os pontos de
. Como vimos no Passo 2, $ x \geq 4 $ está dentro do domínio, então a função está definida para todo $ x $ nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos verificar o limite da função quando $ x $ se aproxima de qualquer ponto $ c $ em
. A função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ é uma função composta de uma raiz quadrada e uma função linear, que são ambas contínuas onde estão definidas. Portanto, o limite existe para todo $ c $ em
.
Passo 6
Finalmente, precisamos confirmar que o limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $. Ou seja:
Como isso é verdadeiro para todo $ c $ em
Resposta
Portanto, a função $ f(x) = \sqrt{x - 4} $ é contínua no intervalo
.