Demonstre, pela definição de limite, que lim (x, y) (1,2)(x+2 y)=5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
lim(x,y)to(1,2)l(x+2yr)=5
O conteúdo é a definição “para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a, então l|f(x,y)-5r|<varepsilon”.

Passo 2

Começamos com um varepsilon>0 arbitrário e vamos escolher de<a>0. Temos
f(x,y)-5 = (x+2y)-5 = (x-1)+2(y-2),
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l|f(x,y)-5r| = l|(x-1)+2(y-2)r|

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular e a relação entre componentes e a distância no plano:
l|(x-1)+2(y-2)r| <= |x-1| + 2,|y-2|
Como raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a implica |x-1|<de<a e |y-2|<de<a, então
|x-1| + 2,|y-2| < de<a + 2de<a = 3de<a

Passo 4

Para garantir que 3de<a<varepsilon, basta escolher
de<a = varepsilon3
Assim, sempre que raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a teremos
l|f(x,y)-5r| < 3de<a = varepsilon

Passo 5

Concluímos que para todo varepsilon>0 existe de<a=varepsilon/3>0 tal que raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a implica l|x+2y-5r|<varepsilon. Isso prova que
lim(x,y)to(1,2)(x+2y)=5

Resposta

Demonstração realizada pela definição de limite.

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