Demonstre, pela definição de limite, que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite em duas variáveis, que
O conteúdo é a definição “para todo
existe
tal que, sempre que
, então
”.
Passo 2
Começamos com um
varepsilon>0 arbitrário e vamos escolher
de<a>0 . Temos
logo
Passo 3
Usamos a desigualdade triangular e a relação entre componentes e a distância no plano:
Como
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a implica
|x-1|<de<a e
|y-2|<de<a , então
Passo 4
Para garantir que
3de<a<varepsilon , basta escolher
Assim, sempre que
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a teremos
Passo 5
Concluímos que para todo
varepsilon>0 existe
de<a=varepsilon/3>0 tal que
raiz(x-1)^2+(y-2)^2<de<a implica
l|x+2y-5r|<varepsilon . Isso prova que
Resposta
Demonstração realizada pela definição de limite.