Resolver o problema de valor de contorno:
Nas condições:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade
varia no espaço
e no tempo
. O conteúdo principal envolve equações de difusão ou calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e aplicar as condições de contorno e iniciais que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Isso é a famosa equação de difusão ou equação do calor, que modela como o calor se espalha em um meio ao longo do tempo. Aqui, o coeficiente
indica a taxa de difusão.
Passo 3
Vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja, vamos propor:
Essa é a ideia por trás da separação de variáveis.
Passo 4
Substituindo
na equação de difusão:
Dividindo ambos os lados por
:
Percebemos que o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Para que igualdade ocorra para qualquer
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
.
Passo 5
Assim, temos duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções trigonométricas quando
.
Passo 8
Vamos definir
. Então, a solução geral para
é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condiç��es de contorno.
Passo 9
Agora, aplicamos as condições de contorno:
Substituindo nossa solução
:
- Para
:
Como
não é nulo, concluímos que
deve ser constante e igual a
. Mas para simplificar, consideramos a solução estacionária onde
, ou seja,
.
Passo 10
Na solução estacionária, a equação se reduz a:
Integrando duas vezes:
Passo 11
Aplicando as condições de contorno na solução estacionária:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Portanto, a solução estacionária é:
Resposta
A solução do problema de valor de contorno é: