Resolver o problema de valor de contorno:
partial upartial t=2 partial^2 upartial x^2
Nas condições:
u(0, t)=10, u(3, t)=40, u(x, 0)=25 e |u(x, t)|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor de contorno juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como uma quantidade varia no espaço e no tempo . O conteúdo principal envolve equações de difusão ou calor. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e aplicar as condições de contorno e iniciais que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
partial upartial t = 2 partial^2 upartial x^2
Isso é a famosa equação de difusão ou equação do calor, que modela como o calor se espalha em um meio ao longo do tempo. Aqui, o coeficiente indica a taxa de difusão.

Passo 3

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de u(x, t) = X(x) cdot T(t) e outra que depende só de . Ou seja, vamos propor:
Essa é a ideia por trás da separação de variáveis.

Passo 4

Substituindo X(x) dTdt = 2 T(t) d^2Xdx^2 na equação de difusão:
1T(t) dTdt = 2 1X(x) d^2Xdx^2
Dividindo ambos os lados por :
Percebemos que o lado esquerdo depende só de e o direito só de . Para que igualdade ocorra para qualquer e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de .

Passo 5

Assim, temos duas equações separadas:
  1. Para dTdt = -lambda T(t) :
2 d^2Xdx^2 = -lambda X(x)
  1. Para :

Passo 6

Resolvendo a equação para dTdt = -lambda T(t) Rightarrow T(t) = T0 e^-lambda t :
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para 2 d^2Xdx^2 + lambda X(x) = 0 Rightarrow d^2Xdx^2 + lambda2 X(x) = 0 :
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções trigonométricas quando .

Passo 8

Vamos definir X(x) = A cos(kx) + B sin(kx) . Então, a solução geral para é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condiç��es de contorno.

Passo 9

Agora, aplicamos as condições de contorno:
u(0, t) = 10 e u(3, t) = 40
Substituindo nossa solução X(0)T(t) = 10 Rightarrow A cdot T(t) = 10 :
  1. Para :
Como não é nulo, concluímos que deve ser constante e igual a . Mas para simplificar, consideramos a solução estacionária onde , ou seja, .

Passo 10

Na solução estacionária, a equação se reduz a:
0 = 2 d^2Udx^2
Integrando duas vezes:
dUdx = C Rightarrow U(x) = Cx + D

Passo 11

Aplicando as condições de contorno na solução estacionária:
  1. Para U(0) = D = 10 :
U(3) = 3C + 10 = 40 Rightarrow 3C = 30 Rightarrow C = 10
  1. Para :

Passo 12

Portanto, a solução estacionária é:
U(x) = 10x + 10

Resposta

A solução do problema de valor de contorno é:
u(x, t) = 10x + 10

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