Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
sumn=0^infty an z^n, onde a2 n=2^2 n e a2 n+1=5^2 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para achar o raio de convergência de uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, onde os coeficientes vêm de duas famílias diferentes: para índices pares e para índices ímpares. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou fórmula do raio) que diz que para a série \sum a_n z^n, vale
1R = limsupntoinfty raiz[n]|an|
e precisamos aplicar isso aos nossos coeficientes.

Passo 2

Usamos a definição do raio de convergência via limsup da n-ésima raiz dos coeficientes:
1R = limsupntoinfty raiz[n]|an|

Passo 3

Note que os coeficientes diferem para índices pares e ímpares. Vamos analisar separadamente as duas subsequências. Para n=2k (par), temos a_{2k}=2^{2k}, então

Passo 4

raiz[2k]|a2k| = raiz[2k]2^2k = 2

Passo 5

Para n=2k+1 (ímpar), temos a_{2k+1}=5^{2k+1}, então

Passo 6

raiz[2k+1]|a2k+1| = raiz[2k+1]5^2k+1 = 5

Passo 7

O limsup, que é o maior limite de acumulação dessas raízes, será o maior entre 2 e 5, ou seja, 5. Assim, temos
1R = 5

Resposta

R = \frac{1}{5}

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