Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o raio de convergência de uma série de potências \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, onde os coeficientes vêm de duas famílias diferentes: para índices pares e para índices ímpares. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz (ou fórmula do raio) que diz que para a série \sum a_n z^n, vale
e precisamos aplicar isso aos nossos coeficientes.
Passo 2
Usamos a definição do raio de convergência via limsup da n-ésima raiz dos coeficientes:
Passo 3
Note que os coeficientes diferem para índices pares e ímpares. Vamos analisar separadamente as duas subsequências. Para n=2k (par), temos a_{2k}=2^{2k}, então
Passo 4
Passo 5
Para n=2k+1 (ímpar), temos a_{2k+1}=5^{2k+1}, então
Passo 6
Passo 7
O limsup, que é o maior limite de acumulação dessas raízes, será o maior entre 2 e 5, ou seja, 5. Assim, temos
Resposta
R = \frac{1}{5}