Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
sumn=1^infty 4^nn z^2 n.

Passo 1

O exercício pede para determinar o raio de convergência da série sumn=1^infty 4^nn z^2 n. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Denotando o termo geral por an z^2n com an=4^n/n, aplicamos o teste da razão: calculamos
limntoinfty|an+1z^2(n+1)an z^2n| =limntoinfty|4^n+1/(n+1),|z|^2n+24^n/n,|z|^2n| =limntoinfty4nn+1,|z|^2 =4,|z|^2

Passo 3

Da condição de convergência do teste da razão, precisamos de 4,|z|^2<1, ou seja |z|^2<1/4. Isso leva a |z|<1/2, que é exatamente o raio de convergência.

Passo 4

Concluindo, o raio de convergência da série é 1/2.

Resposta

O raio de convergência é 1/2.

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