Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=1 /(2 z-3) em potências de z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função em uma série de potências em termos de . Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e entender como determinar o disco de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para colocá-la em uma forma que nos permita aplicar a série geométrica. A função dada é:
f(z) = 12z - 3
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
f(z) = 1-3 + 2z = -13 - 2z

Passo 3

Agora, queremos expressar 11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1 de forma que pareça com a fórmula da série geométrica, que é:
f(z) = -13 - 2z = -13(1 - 2z3) = -13 cdot 11 - 2z3
Vamos manipular para encaixar nessa estrutura:

Passo 4

Agora que temos 11 - 2z3 = sumn=0^infty ( 2z3 )^n na forma f(z) = -13 sumn=0^infty ( 2z3 )^n = sumn=0^infty -13 ( 23 )^n z^n , onde , podemos aplicar a série geométrica:
Multiplicando pela constante que estava na frente:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos a série de potências para f(z) = sumn=0^infty -2^n3^n+1 z^n :

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica | 2z3 | < 1 implies |z| < 32 , a condição de convergência é . No nosso caso, , então:

Resposta

Portanto, o desenvolvimento em série de potências de f(z) = sumn=0^infty -2^n3^n+1 z^n em potências de é:
E o disco de convergência dessa série é .

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