Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente. em potências de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenvolver a função em uma série de potências em termos de . Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e entender como determinar o disco de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para colocá-la em uma forma que nos permita aplicar a série geométrica. A função dada é:
Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, queremos expressar de forma que pareça com a fórmula da série geométrica, que é:
Vamos manipular para encaixar nessa estrutura:
Passo 4
Agora que temos na forma , onde , podemos aplicar a série geométrica:
Multiplicando pela constante que estava na frente:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos a série de potências para :
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a condição de convergência é . No nosso caso, , então:
Resposta
Portanto, o desenvolvimento em série de potências de f(z) = sumn=0^infty -2^n3^n+1 z^n em potências de é: