Exercícios
integral x^2 sen(x2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2,senl(tfracx2r),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes porque, após a primeira aplicação, surgirá uma nova integral de forma semelhante.

Passo 2

Escolhemos para a primeira integração por partes u1=x^2 e dv1=senl(tfracx2r)dx. Então du1=2x,dx e calculamos v1=integralsen(tfracx2)dx=-2cos(tfracx2). Aplicando integral u1,dv1=u1v1-integral v1,du1 obtemos
integral x^2senl(tfracx2r)dx=-2x^2cosl(tfracx2r)+4integral xcosl(tfracx2r)dx

Passo 3

Para resolver integral xcosl(tfracx2r)dx, aplicamos integração por partes de novo, com u2=x e dv2=cos(tfracx2)dx. Assim du2=dx e v2=integralcos(tfracx2)dx=2sin(tfracx2). Logo,
integral xcosl(tfracx2r)dx=2xsinl(tfracx2r)-2integralsinl(tfracx2r)dx =2xsinl(tfracx2r)+4cosl(tfracx2r)

Passo 4

Voltando para a expressão inicial, substituímos essa integral no resultado da primeira parte:
integral x^2senl(tfracx2r)dx=-2x^2cosl(tfracx2r)+4l(2xsinl(tfracx2r)+4cosl(tfracx2r)r)+C

Passo 5

Finalmente, distribuímos o 4 e juntamos termos semelhantes para obter a forma mais limpa:
-2x^2cosl(tfracx2r)+8xsinl(tfracx2r)+16cosl(tfracx2r)+C

Resposta

-2x^2cosl(tfracx2r)+8xsinl(tfracx2r)+16cosl(tfracx2r)+C

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