Determine os raios de convergência das séries dadas nos Exercs. 8 a 16 .
sumn=0^infty(raiz2)^3 n z^n.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências sumn=0^infty(raiz2)^3n z^n. O conteúdo envolvido é séries de potências e raio de convergência, e podemos usar o teste da raiz ou reconhecer uma série geométrica.

Passo 2

Observamos que o termo geral satisfaz
(raiz2)^3n = (2^1/2)^3n = 2^3n/2 = (2^3/2)^n
Assim a série fica sumn=0^infty(2^3/2 z)^n.

Passo 3

Trata-se de uma série geométrica com razão q = 2^3/2 z, que converge se |q|<1. Logo
|2^3/2 z|<1 ,Longrightarrow, |z|<12^3/2

Resposta

O raio de convergência é R = 2^-3/2.

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