Determine uma raiz real do polinômio f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-4, iniciando em x_{0}=6 e considerando uma precisão (erro) de 0,05 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz real do polinômio
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-4
usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial x_{0}=6 e critério de parada \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0{,}05.

Passo 2

Escrevemos a função e sua derivada, pois o método de Newton exige ambas:
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-4,
f'(x)=3x^{2}-12x+9.
A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Calculamos x_{1}:
f(6)=6^{3}-6\cdot6^{2}+9\cdot6-4=216-216+54-4=50,
f'(6)=3\cdot6^{2}-12\cdot6+9=108-72+9=45,
x_{1}=6-\frac{50}{45}=6-1{,}1111=4{,}8889.

Passo 4

Calculamos x_{2}:
f(4{,}8889)\approx13{,}460,\quad f'(4{,}8889)\approx22{,}0407,
x_{2}=4{,}8889-\frac{13{,}460}{22{,}0407}=4{,}8889-0{,}6108=4{,}2781.

Passo 5

Calculamos x_{3}:
f(4{,}2781)\approx2{,}977,\quad f'(4{,}2781)\approx12{,}582,
x_{3}=4{,}2781-\frac{2{,}977}{12{,}582}=4{,}2781-0{,}2367=4{,}0414.

Passo 6

Calculamos x_{4} e verificamos o critério:
f(4{,}0414)\approx0{,}4399,\quad f'(4{,}0414)\approx9{,}504,
x_{4}=4{,}0414-\frac{0{,}4399}{9{,}504}=4{,}0414-0{,}0463=3{,}9951,
\lvert x_{4}-x_{3}\rvert=0{,}0463<0{,}05,
logo podemos parar.

Resposta

Uma raiz aproximada é x\approx3{,}995.

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