5^{\circ} ) Calcule os limites as funções abaixo, caso existam.
\lim _{(x, y) \longrightarrow(1,1)} \frac{x-y}{x^{3}-y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x-y}{x^3 - y^3}
Esse é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a teoria de indeterminação do tipo 0/0, fatorar o denominador e aplicar continuidade para avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, vemos que ao substituir diretamente (x,y)=(1,1) obtemos
\frac{1-1}{1^3-1^3}=\frac{0}{0},
ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0. Nesses casos, o truque clássico é fatorar a expressão que causa a indeterminação.

Passo 3

Usamos a fatoração de diferença de cubos:
x^3 - y^3 = (x - y)\,(x^2 + x\,y + y^2).
Substituindo no quociente, para x\neq y, temos
\frac{x-y}{x^3 - y^3} =\frac{x-y}{(x-y)\,(x^2 + x\,y + y^2)} =\frac{1}{x^2 + x\,y + y^2}.

Passo 4

A função simplificada
g(x,y)=\frac{1}{x^2 + x\,y + y^2}
é contínua em pontos próximos de (1,1). Logo, podemos simplesmente substituir (x,y)=(1,1) em g:
\lim_{(x,y)\to(1,1)}g(x,y) =\frac{1}{1^2 + 1\cdot1 + 1^2} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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