Use o método de Newton para calcular ao menos uma raiz da seguinte função f(x)=x^{3}-x^{2}-12 x. Comece com as estimativas iniciais de x_{0}=0 e considere uma precisão de 0,01 .

Passo 1

O enunciado pede usar o método de Newton para encontrar uma raiz da função
f(x)=x^{3}-x^{2}-12x
partindo de x_{0}=0 e com precisão \epsilon=0,01. Vamos precisar da derivada de f e da fórmula de iteração de Newton.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Essa derivada indica o coeficiente angular da reta tangente:
f'(x)=3x^{2}-2x-12.

Passo 3

A regra de iteração do método de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 4

Aplicando em x_{0}=0:
f(0)=0^{3}-0^{2}-12\cdot0=0,
f'(0)=3\cdot0^{2}-2\cdot0-12=-12,
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x_{1}=0-\frac{0}{-12}=0.

Passo 5

Verificamos o critério de parada \lvert x_{1}-x_{0}\rvert<0,01. Como \lvert0-0\rvert=0<0,01,
atingimos a precisão desejada imediatamente.

Resposta

A raiz aproximada encontrada é x\approx0.

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