Determine a raiz real positiva de
\ln \left(x^{2}\right)=0,7
(b) usando quatro iterações do método regula falsi, com aproximações iniciais x_{1}=0,5 e $x_{2}=2.

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva da equação
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=0,7
usando quatro iterações do método da régula falsi com pontos iniciais x_{1}=0,5 e x_{2}=2. O conteúdo necessário é a aplicação da fórmula
x_{k+1} \;=\;\frac{x_{i}\,f(x_{j})-x_{j}\,f(x_{i})}{f(x_{j})-f(x_{i})}
onde [x_{i},x_{j}] é o intervalo que contém a raiz e f(x)=\ln(x^{2})-0,7.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)-0,7 = 2\ln(x)-0,7.
Calculamos
f(x_{1})=f(0,5)=\ln(0,5^{2})-0,7=\ln(0,25)-0,7\approx -1,3863-0,7=-2,0863,
f(x_{2})=f(2)=\ln(2^{2})-0,7=\ln(4)-0,7\approx 1,3863-0,7=0,6863.

Passo 3

Iteração 1: usamos [x_{1},x_{2}]=[0,5,2]. A régula falsi dá
x_{3}=\frac{0,5\cdot0,6863 \;-\;2\cdot(-2,0863)}{0,6863-(-2,0863)} =\frac{0,3432+4,1726}{2,7726}\approx1,6284.
E
f(x_{3})=f(1,6284)=\ln(1,6284^{2})-0,7\approx0,9758-0,7=0,2758.

Passo 4

Iteração 2: agora o sinal de f em x_{1} e x_{3} é oposto, então tomamos [0,5,1,6284].
x_{4}=\frac{0,5\cdot0,2758 -1,6284\cdot(-2,0863)}{0,2758-(-2,0863)} =\frac{0,1379+3,3976}{2,3621}\approx1,4969.
E
f(x_{4})=f(1,4969)=\ln(1,4969^{2})-0,7\approx0,8066-0,7=0,1066.

Passo 5

Iteração 3: tomamos [0,5,1,4969].
x_{5}=\frac{0,5\cdot0,1066 -1,4969\cdot(-2,0863)}{0,1066-(-2,0863)} =\frac{0,0533+3,1224}{2,1929}\approx1,4487.
E
f(x_{5})=f(1,4487)=\ln(1,4487^{2})-0,7\approx0,7410-0,7=0,0410.

Passo 6

Iteração 4: tomamos [0,5,1,4487].
x_{6}=\frac{0,5\cdot0,0410 -1,4487\cdot(-2,0863)}{0,0410-(-2,0863)} =\frac{0,0205+3,0224}{2,1273}\approx1,4303.
E
f(x_{6})=f(1,4303)\approx\ln(1,4303^{2})-0,7\approx0,0090.

Resposta

A aproximação da raiz real positiva após quatro iterações do método da régula falsi é aproximadamente
x\approx1,4303.

Exercícios relacionados