Determine a raiz real positiva de
\ln \left(x^{2}\right)=0,7
(a) usando quatro iterações do método de bissecção, com aproximações iniciais x_{1}=0,5 e $x_{2}=2.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real positiva da equação
\ln\bigl(x^{2}\bigr)=0,7
usando quatro iterações do método da bissecção com aproximações iniciais x_{1}=0,5 e x_{2}=2. Vamos definir uma função f cujo zero corresponde à solução e então aplicar o procedimento de bissecção.

Passo 2

Definimos
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)-0,7.
Calculamos o sinal de f nos extremos do intervalo inicial:
f(0,5)=\ln(0,5^{2})-0,7=\ln(0,25)-0,7\approx -1,3863-0,7=-2,0863<0,
f(2)=\ln(2^{2})-0,7=\ln(4)-0,7\approx 1,3863-0,7=0,6863>0.
Como há mudança de sinal em [0,5,\,2], há raiz nesse intervalo.

Passo 3

1ª iteração. Calculamos o ponto médio
c_{1}=\frac{0,5+2}{2}=1,25,
avaliamos
f(1,25)=\ln(1,25^{2})-0,7=\ln(1,5625)-0,7\approx 0,4463-0,7=-0,2537<0.
Como f(c_{1})<0 e f(2)>0, a nova faixa é [1,25,\,2].

Passo 4

2ª iteração.
c_{2}=\frac{1,25+2}{2}=1,625,
f(1,625)=\ln(1,625^{2})-0,7=\ln(2,640625)-0,7\approx 0,9710-0,7=0,2710>0.
Agora f(1,25)<0 e f(c_{2})>0, então a faixa reduz para [1,25,\,1,625].

Passo 5

3ª iteração.
c_{3}=\frac{1,25+1,625}{2}=1,4375,
f(1,4375)=\ln(1,4375^{2})-0,7=\ln(2,06640625)-0,7\approx 0,7263-0,7=0,0263>0.
Como f(1,25)<0 e f(c_{3})>0, o intervalo passa a ser [1,25,\,1,4375].

Passo 6

4ª iteração.
c_{4}=\frac{1,25+1,4375}{2}=1,34375,
f(1,34375)=\ln(1,34375^{2})-0,7=\ln(1,806640625)-0,7\approx 0,5911-0,7=-0,1089<0.
Agora f(c_{4})<0 e f(c_{3})>0, definindo o último intervalo [1,34375,\,1,4375].

Resposta

A aproximação da raiz real positiva após quatro iterações é aproximadamente
\boxed{1,34375}.

Exercícios relacionados