Determine as suas raizes, o eixo de simetria, o máximo ou mínimo local se existirem e o vértice desta parábola. Faça o gráfico da função.
f(x)=-x^2+7 x-10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função quadrática . O tema aqui é estudo de funções quadráticas, e para resolver, vamos precisar achar as raízes, o eixo de simetria, determinar se a parábola tem um ponto máximo ou mínimo, encontrar o vértice e desenhar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de x = -b pm raizb^2 - 4ac 2a que fazem com que x = -7 pm raiz7^2 - 4*(-1)*(-10) 2*(-1) . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que resolve equações do tipo De. Aqui, , e .
A fórmula de Bhaskara é:
Vamos substituir os valores:
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais distintas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as raízes:
x = -7 pm raiz9 -2 = -7 pm 3 -2
Então:
x1 = -7 + 3 -2 = -4 -2 = 2
x2 = -7 - 3 -2 = -10 -2 = 5
As raízes são e .

Passo 4

O eixo de simetria de uma parábola dada por x = -b2a é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola. A fórmula para encontrar o eixo de simetria é:
x = -72*(-1) = 72
Substituindo e :
Então, o eixo de simetria é a reta .

Passo 5

Para determinar se a parábola tem um ponto máximo ou mínimo, observamos o coeficiente . Se , a parábola abre para cima e tem um mínimo; se , abre para baixo e tem um máximo. Aqui, , então a parábola tem um ponto máximo.

Passo 6

O vértice da parábola é o ponto onde ocorre o máximo ou mínimo. Já sabemos que o eixo de simetria é f( 72 ) = -( 72 )^2 + 7*( 72 ) - 10 . Para encontrar a ordenada do vértice ( f( 72 ) = -494 + 492 - 10 = -494 + 984 - 404 = 94 ), substituímos na função:
Calculando:
Então, o vértice é .

Resposta

As raízes da função são e . O eixo de simetria é a reta . A parábola tem um ponto máximo, cujo vértice é . O gráfico da função é uma parábola voltada para baixo, interceptando o eixo nos pontos 2 e 5, e alcançando seu ponto mais alto no vértice mencionado.

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