Seja f(x)=x^2-4 x+3. Determine as suas raizes, o eixo de simetria, o máximo ou mínimo local se existirem e o vértice desta parábola. Faça o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função quadrática f(x)=x^2-4x+3: determinar as raízes, o eixo de simetria, o vértice, o extremo local e esboçar o gráfico. Vamos usar teoria de funções quadráticas e propriedades de parábolas.

Passo 2

Para encontrar as raízes de f(x)=0, fatoramos o polinômio:
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
Logo as soluções são x=1 e x=3.

Passo 3

O eixo de simetria de uma parábola ax^2+bx+c é dado por x=-b2a. Aqui temos a=1 e b=-4, portanto
x=--42cdot1=2.

Passo 4

O vértice tem abscissa xv=2. Para encontrar a ordenada calculamos yv=f(2):
yv=2^2-4cdot2+3=4-8+3=-1,
logo o vértice é (2,-1). Como a=1>0, a parábola abre para cima, indicando um mínimo local em (2,-1).

Passo 5

Para esboçar o gráfico marcamos os pontos importantes:
• raízes em (1,0) e (3,0),
• vértice em (2,-1),
• intercepto em y dado por f(0)=3, ou seja (0,3),
e traçamos uma curva suave e simétrica em torno do eixo x=2 com concavidade para cima.

Resposta

Raízes: x=1 e x=3; eixo de simetria: x=2; vértice: (2,-1); mínimo local em (2,-1). Gráfico: parábola de concavidade para cima, passando por (1,0), (3,0), vértice em (2,-1) e intercepto em (0,3).

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