Determine as raízes das equações.
\sqrt{3} x-\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as raízes da equação
\sqrt{3}\,x-\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos uma expressão que envolve x e x^{2}, igualada a zero.
  • A tarefa é encontrar todos os valores de x (reais) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): quando uma expressão do tipo “produto = 0” aparece, vale a propriedade do produto nulo: se ab=0 então a=0 ou b=0. Para usar isso, é conveniente escrever a equação como um produto de fatores. Aqui há uma fração com \sqrt{3} no denominador; uma técnica simples é eliminar essa fração multiplicando ambos os lados por \sqrt{3}. Multiplicar uma equação por uma constante não nula preserva as soluções (porque \sqrt{3}\neq0).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por \sqrt{3}:
\sqrt{3}\!\left(\sqrt{3}\,x-\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}\cdot 0.
Calcule cada termo:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\,x=3x, \qquad \sqrt{3}\cdot\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}=x^{2}, \qquad \sqrt{3}\cdot 0=0.
Portanto obtemos a equação equivalente
3x - x^{2} = 0.

Passo 4

Organizando e fatorando: reescrevo a equação como
-x^{2}+3x=0
e fatoro x em evidência:
x(3-x)=0.
Explicação do fatoramento: x(3-x)=x\cdot 3 - x\cdot x = 3x - x^{2}, que é exatamente o que tínhamos. Colocar em produto facilita aplicar a propriedade do produto nulo.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto nulo:
x=0 \quad\text{ou}\quad 3-x=0.
Da segunda equação vem
3-x=0 \implies x=3.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom conferir):
  • Para x=0:
\sqrt{3}\cdot 0 - \frac{0^{2}}{\sqrt{3}} = 0 - 0 = 0.
  • Para x=3:
\sqrt{3}\cdot 3 - \frac{3^{2}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{9}{\sqrt{3}}.
Note que 3\sqrt{3}=\dfrac{9}{\sqrt{3}}, então 3\sqrt{3}-\dfrac{9}{\sqrt{3}}=0. Ambas as soluções satisfazem a equação.

Passo 7

Observação alternativa curta: também se podia ter fatorado diretamente sem multiplicar por \sqrt{3}, pois
\sqrt{3}\,x-\frac{x^{2}}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{3}}(3-x),
e daí chegar diretamente a \dfrac{x}{\sqrt{3}}(3-x)=0, que dá as mesmas soluções.

Resposta

0
3

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