Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão dada é o produto de dois fatores lineares:
e . - Deve-se encontrar todos os números reais
que tornam esse produto maior ou igual a zero.
Passo 2
Ideia principal (uma pequena aula): para dois números reais
e
vale que
exatamente quando ambos têm o mesmo sinal, isto é, ambos são não-negativos (
e
) ou ambos são não-positivos (
e
). No caso de um produto de fatores que dependem de
, isso significa que devemos dividir a reta real em intervalos determinados pelas raízes (zeros) dos fatores e verificar o sinal de cada fator em cada intervalo — é o chamado “quadro de sinais” ou “análise de sinais”. Zeros do produto (
) também satisfazem a desigualdade
, então pontos onde um fator é zero entram na solução.
Passo 3
Encontrar os pontos que dividem a reta (os zeros dos fatores):
- Resolver
dá . - Resolver
dá .
Esses dois pontos particionam a reta real em três intervalos:
,
e
. Além disso, os pontos
e
precisam ser checados porque podem satisfazer a desigualdade (aqui o produto é zero nesses pontos).
Passo 4
Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo — vou testar um valor simples em cada intervalo.
-
Para o intervalo
, escolha . -
em é (negativo). -
em é (negativo). - Produto: negativo
negativo positivo. Logo o produto é neste intervalo.
-
-
Para o intervalo
, escolha . -
em é (positivo). -
em é (negativo). - Produto: positivo
negativo negativo. Logo o produto é neste intervalo.
-
-
Para o intervalo
, escolha . -
em é (positivo). -
em é (positivo). - Produto: positivo
positivo positivo. Logo o produto é neste intervalo.
-
Também verificar os pontos
e
:
- Em
o produto é , que satisfaz . - Em
o produto é , que satisfaz .
Passo 5
Conclusão: o produto é não-negativo nos intervalos onde ambos os fatores têm o mesmo sinal, ou nos pontos onde o produto é zero. Pelos testes, isso ocorre em
e em
. Portanto a solução da desigualdade é a união desses conjuntos.