Determine as raízes indicadas. Represente as raízes no plano complexo.
As raízes cúbicas de 1+i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes cúbicas de 1 + i e representá-las no plano complexo. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e radicais complexos. Vamos precisar entender como converter um número complexo para sua forma polar e aplicar a fórmula das raízes de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo z = a + b i pode ser representado na forma polar como z = r (cos theta + i sin theta), onde r é o módulo de z e theta é o argumento de z.

Passo 3

Vamos encontrar o módulo r de 1 + i:
r = raiza^2 + b^2 = raiz1^2 + 1^2 = raiz2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta. Como 1 + i está no primeiro quadrante, podemos usar a tangente:
theta = arctan(ba) = arctan(11) = pi4
Então, 1 + i na forma polar é:
raiz2 ( cos pi4 + i sin pi4 )

Passo 5

Para encontrar as raízes cúbicas de 1 + i, usamos a fórmula das raízes de um número complexo:
zk = raiz[3]r ( cos theta + 2kpi3 + i sin theta + 2kpi3 ), k = 0, 1, 2

Passo 6

Vamos calcular raiz[3]r:
raiz[3]raiz2 = 2^1/6

Passo 7

Agora, calculamos os três valores para k = 0, 1, 2:
Para k = 0:
z0 = 2^1/6 ( cos pi/43 + i sin pi/43 ) = 2^1/6 ( cos pi12 + i sin pi12 )
Para k = 1:
z1 = 2^1/6 ( cos pi/4 + 2pi3 + i sin pi/4 + 2pi3 ) = 2^1/6 ( cos 9pi12 + i sin 9pi12 ) = 2^1/6 ( cos 3pi4 + i sin 3pi4 )
Para k = 2:
z2 = 2^1/6 ( cos pi/4 + 4pi3 + i sin pi/4 + 4pi3 ) = 2^1/6 ( cos 17pi12 + i sin 17pi12 )

Passo 8

Agora, vamos simplificar os ângulos:
pi12 = 15^circ, 3pi4 = 135^circ, 17pi12 = 255^circ
Então, as raízes cúbicas são:
z0 = 2^1/6 ( cos 15^circ + i sin 15^circ )
z1 = 2^1/6 ( cos 135^circ + i sin 135^circ )
z2 = 2^1/6 ( cos 255^circ + i sin 255^circ )

Resposta

As raízes cúbicas de 1 + i são:
z0 = 2^1/6 ( cos 15^circ + i sin 15^circ )
z1 = 2^1/6 ( cos 135^circ + i sin 135^circ )
z2 = 2^1/6 ( cos 255^circ + i sin 255^circ )
Essas raízes podem ser representadas no plano complexo como três pontos equidistantes em torno da origem, cada um com um ângulo de 120° entre si, começando em 15°, 135° e 255°, respectivamente.

Exercícios relacionados