Determine as raízes indicadas. Represente as raízes no plano complexo.
As raízes cúbicas de
.
As raízes cúbicas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as raízes cúbicas de
e representá-las no plano complexo. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e radicais complexos. Vamos precisar entender como converter um número complexo para sua forma polar e aplicar a fórmula das raízes de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado na forma polar como
, onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.
Passo 3
Vamos encontrar o módulo
de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Como
está no primeiro quadrante, podemos usar a tangente:
Então,
na forma polar é:
Passo 5
Para encontrar as raízes cúbicas de
, usamos a fórmula das raízes de um número complexo:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Agora, calculamos os três valores para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos simplificar os ângulos:
Então, as raízes cúbicas são:
Resposta
As raízes cúbicas de
são:
Essas raízes podem ser representadas no plano complexo como três pontos equidistantes em torno da origem, cada um com um ângulo de 120° entre si, começando em 15°, 135° e 255°, respectivamente.