Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
y(1+x^3) y^prime-x^2=0, y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial do tipo y(1 + x^3) y' - x^2 = 0 e, além disso, aplicar a condição inicial y(0) = 1. Isso tudo está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser separadas ou rearranjadas para facilitar a solução. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar y' e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y'. A equação dada é:
y(1 + x^3) y' - x^2 = 0
Vamos adicionar x^2 em ambos os lados:
y(1 + x^3) y' = x^2
Agora, dividimos ambos os lados por y(1 + x^3) para isolar y':
y' = x^2y(1 + x^3)

Passo 3

Aqui, percebemos que a equação pode ser escrita de forma separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis y e x em lados diferentes da equação. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados por y:
y y' = x^21 + x^3
Sabemos que y y' é igual a 12 ddx(y^2), então:
12 ddx(y^2) = x^21 + x^3

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x. Primeiramente, reescrevemos a equação:
ddx(y^2) = 2x^21 + x^3
Integrando:
integral ddx(y^2) dx = integral 2x^21 + x^3 dx
O lado esquerdo simplesmente nos dá y^2. No lado direito, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 1 + x^3, então du = 3x^2 dx, ou seja, x^2 dx = du3. Assim:
integral 2x^21 + x^3 dx = 2 integral 1u cdot du3 = 23 integral 1u du = 23 ln|u| + C
Substituindo u de volta:
y^2 = 23 ln|1 + x^3| + C

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação:
1^2 = 23 ln|1 + 0^3| + C 1 = 23 ln 1 + C
Como ln 1 = 0, temos:
1 = 0 + C C = 1

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial y(0) = 1 é:
y^2 = 23 ln(1 + x^3) + 1

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