Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial do tipo
e, além disso, aplicar a condição inicial
. Isso tudo está dentro da matéria de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser separadas ou rearranjadas para facilitar a solução. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para isolar
e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. A equação dada é:
Vamos adicionar
em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Aqui, percebemos que a equação pode ser escrita de forma separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que
é igual a
, então:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
. Primeiramente, reescrevemos a equação:
Integrando:
O lado esquerdo simplesmente nos dá
. No lado direito, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Substituindo
de volta:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Como
, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
é: